Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
a) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= \frac{1}{n(n+1)} \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)
b) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)
c) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)
Taotao2 pisze: ↑16 cze 2023, 14:45
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
a) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= \frac{1}{n(n+1)} \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)
To nie jest prawdą! \(a_n={1\over n(n-1)}\) dla \(n\in\nn_+\setminus\{1\}\)
Taotao2 pisze: ↑16 cze 2023, 14:45
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
b) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)
\(a_{n+1}=(-1)^{n+1}\), bo \(a_{n+1}=-(-1)^n=(-1)^1\cdot(-1)^n=\ldots\)
Taotao2 pisze: ↑16 cze 2023, 14:45
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
c) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)
\(a_{n+1}=2^{n+1}\), bo \(a_{n+1}=2\cdot2^n=\ldots\)
Teraz jest już na pewno wszystko dobrze
a) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= a_n-\frac{1}{n(n+1)} \end{cases}, n\geq 1 \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)
b) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)
c) \( \begin{cases}a_1=2\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)
Taotao2 pisze: ↑17 cze 2023, 11:54
Teraz jest już na pewno wszystko dobrze
a) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= a_n-\frac{1}{n(n+1)} \end{cases}, n\geq 1 \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)