Funkcje wielu zmiennych - zadanie.

[Natu]

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji \(𝑧 = \sin 𝑥 + \sin 𝑦 + \sin(𝑥 + 𝑦)\) w prostokącie \( D = [(𝑥, 𝑦): 0 \le 𝑥 \le \frac{\pi}{2} , 0 \le 𝑦 \le \frac{\pi}{2} ]\).

Powinno wyjść \(z= \frac{3\sqrt{3}}{2} \) dla \(( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} ) \), \(z=0\) dla \((0,0)\)

Nie mam pojęcia jak do tego dojść

[janusz55]

Znajdujemy najmniejszą i największą wartość funkcji na brzegach prostokąta i w jego wnętrzu.

[Natu]

Jak to zrobić krok po kroku? Zupełnie nie rozumiem tego typu zadań...

[janusz55]

Wyznaczymy \( \max_{(D)} f, \ \ \min_{(D)} f,\)

gdzie

\( f(x,y) = \sin(x) + \sin(y) + \sin(x+y). \)

\( D =\left\{(x,y): 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} \right \}. \)

Innymi słowy szukamy maksimum (minimum) lokalnego wewnątrz prostokąta(kwadratu) \( (D)\) (o ile istnieje).

Warunek konieczny ekstremum lokalnego:

\( \begin{cases} f'_{|x} (x,y) = \cos(x) + \cos(x+y) =0 \\ f'_{|y}(x, y) = \cos(y) + \cos(x+y) =0 \end{cases} \ \ (1) \)

Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego otrzymując \( \cos(x) - (cos(y) = 0, \ \ \cos(x) = \cos(y),\ \ x = y \ \ (2)\)

Uwzględniamy równość \( (2) \) na przykład w równaniu pierwszym układu \( (1) \)

\( \cos(x) + \cos(x+x) = 0, \)

\( \cos(x) + \cos(2x) = 0, \)

\( \cos(2x) = -\cos(x) \)

\( \cos(2x) = \cos(\pi -x) \vee \cos(2x) = \cos(\pi +x) \)

\( 2x = \pi -x \vee 2x = \pi +x \)

\( x = \frac{1}{3}\pi \vee x = \pi \notin D \)

Jedynym punktem kandydującym na ekstremum lokalne funkcji jest punkt \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right).\)

Sprawdzamy warunek dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum lokalnego funkcji

\( f^{''}_{x|x} (x.y) = - \sin(x)- \sin(x+y) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(\frac{2}{3}\pi\right)= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}= -\sqrt{3}.\)

\( f^{''}_{x|y} (x.y) =f^{''}_{y|x}(x,y) = - \sin(x+y) = - \sin \left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\( f^{''}_{y|y} (x.y) = - \sin(y)- \sin(x+y) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}.\)

Macierz pierwszej różniczki:

\( D_{1}= \det\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) <0, \)

Macierz drugiej różniczki:

\( D_{2} = \det\left[\begin{matrix} -\sqrt{3}& -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{matrix} \right] = 3 -\frac{3}{4}=\frac{9}{4}>0.\)

Macierz drugiej różniczki jest dodatnio określona.

W punkcie \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \) funkcja \( f(x,y) \) ma maksimum lokalne równe:

\( f \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left (\frac{\pi}{3}\right) +\sin\left (\frac{\pi}{3}\right )+ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

Znajdujemy wartość najmniejszą i największą funkcji na brzegu obszaru prostokąta (kwadratu) \( D.\)

Zbiór \( br(D) \) - brzeg prostokąta \( D \) składa się z czterech odcinków: \( O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}.\)

\( br(D) = O_{1}\cup O_{2} \cup O_{3} \cup O_{4}.\)

\( O_{1} = \{ (x, 0): \ \ 0\leq x \leq \frac{\pi}{2}\} \)

\( f(x,0) = \sin(x) + \sin(x+0) = \sin(x) + \sin(x) = 2\sin(x).\)

\( \max_{O_{1}}[ f(x,0)] = \max_{0\leq x \leq \frac{\pi}{2}} [ 2\sin(x)] = 2 \cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cdot 1=2.\)

\( \min_{O_{1}} [ f(x,0)] = \min_{0\leq x \leq \frac{\pi}{2}} [ 2\sin(x)] = 2 \cdot sin\left(0\right) = 2\cdot 0=0.\)

\( O_{2} = \{(\frac{\pi}{2}, y): \ \ 0\leq y\leq \frac{\pi}{2}\}. \)

\( \max_{O_{2}}[ f(\frac{\pi}{2},y)] = \max_{0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}} [ 1 +\sin(\frac{\pi}{2} +y)] = max_{0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}} [1 +\cos(y)] = 1 + \cos(0) = 1+ 1=2.\)

\( \min_{O_{2}}[ f(\frac{\pi}{2},y)] = \min_{0\leq y \leq \frac{\pi}{2}} [ 1 +\sin(\frac{\pi}{2} +y)] = \min_{0\leq y \leq \frac{\pi}{2}} [1 +\cos(y)] = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1+ 0=1.\)

\( O_{3} = \{( x, \frac{\pi}{2}): \ \ 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\}. \)

\( \max_{O_{3}}[f(x, \frac{\pi}{2})] = \max_{0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}} [\sin(x)+ \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)] =\max_{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}} [ \sin(x) + \cos(x)] = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) +\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\) \( =\sqrt{2},\)
bo
\( f' \left(x,\frac{\pi}{2}\right) = (\sin(x) + \cos(x))' = \cos(x) - \sin(x) = 0, \ \ \sin(x)=\cos(x), \ \ x_{0} = \frac{\pi}{4}\)

\( f^{''}\left(x, \frac{\pi}{2}\right) = (\sin(x)+\cos(x))^{''} = -\sin(x) -\cos(x),\)

\( f^{''}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}<0.\)

\( \min_{O_{3}}[ f(x, \frac{\pi}{2})] = \min_{0\leq x \leq \frac{\pi}{2}} [ \sin(x)+ \sin\left(x +\frac{\pi}{2}\right)] =\min_{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}} [ \sin(x) + \cos(x)] =\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) +\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1+0 = 1.\)

\( O_{4} = \{( (0, y): x=0, 0\leq y \leq \frac{\pi}{2} \}. \)

\( \max_{O_{4}}[ f(0, y)] = \max_{0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}}[ \sin(0) + \sin(y) + \sin(0+y)]= \max_{0\leq y\leq \frac{\pi}{2}}[ 2\sin(y)] = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cdot 1 = 2.\)

\( \min_{O_{4}}[ f(0, y)] = \min_{0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}}[ \sin(0) + \sin(y) + \sin(0+y)]= \min_{0\leq y\leq \frac{\pi}{2}}[ 2\sin(y)] = 2\sin\left(0 \right) = 2\cdot 0 = 0.\)

Reasumując:

Największą wartością funkcji \( f(x,y) = \sin(x) + \sin(y) + \sin(x+y) \) w prostokącie (kwadracie) \( D = \left \{(x,y): 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0\leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\}\) jest jej maksimum lokalne osiągalne w punkcie wewnętrznym \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \) prostokąta (kwadratu), równe \( f\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}. \)

Najmniejszą wartością funkcji \( f(x,y) \) na prostokącie (na kwadracie) \( D \) jest \( 0 \) osiągane na brzegu prostokąta (kwadratu) w punkcie \( (0, 0).\)