ciąg geometryczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
BarT123oks
- Czasem tu bywam
- Posty: 95
- Rejestracja: 15 sty 2023, 13:15
- Podziękowania: 34 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
ciąg geometryczny
W nieskończonym ciągu geometrycznym malejącym \(a_n\) określonym dla każdej liczby naturalnej dodatniej \(n\), jest spełniony warunek \(\frac{a_9+a_7}{a_7}=\frac{25}{16}\). Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu jeśli wiadomo, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest równa 15.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: ciąg geometryczny
Z warunków: \( \frac{a_{9}}{a_{7}} + 1 = \frac{25}{16}, \ \ S_{2n-1} = 15 \) wyznaczamy \( a_{1}, q. \)
Piszemy wzór na wyraz ogólny \( a_{n} \) ciągu.
Piszemy wzór na wyraz ogólny \( a_{n} \) ciągu.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: ciąg geometryczny
\(\frac{a_9+a_7}{a_7}=\frac{25}{16}\iff \frac{a_9}{a_7}+1=\frac{25}{16}\iff q^2={9\over16}\)
Ponieważ ciąg jest monotoniczny, to
\(q={3\over4}\) (spełnia warunek zbieżności szeregu!)
Wyrazy nieparzyste tego ciągu tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q_N=q^2\), zatem
\(\dfrac{a_1}{1-{9\over16}}=15\iff a_1=\frac{105}{16}\)
Ostatecznie:
\(a_n=\frac{105}{16}\cdot\left({3\over4}\right)^{n-1}\) dla \(n\in\nn_+\)
Pozdrawiam
PS.
Ponieważ ciąg jest monotoniczny, to
\(q={3\over4}\) (spełnia warunek zbieżności szeregu!)
Wyrazy nieparzyste tego ciągu tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q_N=q^2\), zatem
\(\dfrac{a_1}{1-{9\over16}}=15\iff a_1=\frac{105}{16}\)
Ostatecznie:
\(a_n=\frac{105}{16}\cdot\left({3\over4}\right)^{n-1}\) dla \(n\in\nn_+\)
Pozdrawiam
PS.
oznacza sumę \(2n-1\) początkowych wyrazów ciągu!