Płaszczyzna ostrosłupa

[PitreWace]

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma krawędź \(a\). Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(3 \alpha\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

[uziom]

Rozważmy przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Otrzymamy w ten sposób czworokąt foremny, którego przekątna będzie równa krawędzi podstawy ostrosłupa.

Aby obliczyć długość przekątnej tego czworokąta, skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Niech d oznacza długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli odcinka łączącego wierzchołek ostrosłupa z punktem przecięcia płaszczyzny przekroju z krawędzią podstawy. Wówczas, zastosowując twierdzenie cosinusów w trójkącie o bokach d, a i a (przeciwprostokątna), otrzymamy:
\(
a^2 = d^2 + a^2 - 2ad \cos \alpha\)

\(d = \frac{a}{2\cos\alpha}\)

Długość przekątnej czworokąta foremnego to z kolei:

\(\sqrt{2} a = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{\cos\alpha}\)

Pole tego przekroju to z kolei pole czworokąta foremnego, czyli:

\(P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a^2 = \frac{a^2}{\cos^2\alpha}\)

Ostatecznie więc pole przekroju ostrosłupa jest równe \(\frac{a^2}{\cos^2\alpha}\).

[Jerry]

... Otrzymamy w ten sposób czworokąt foremny, którego przekątna będzie równa krawędzi podstawy ostrosłupa....

Czyli kwadrat . Proponuję zasadę : Po pierwsze nie szkodzić
Poza tym, jeśli edytujesz i zmieniasz swój post - napisz o tym! Wcześniej były jeszcze ciekawsze rzeczy...

Do rzeczy:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z szybkimi wnioskami dotyczącymi kątów:

   

2. Z \(\Delta PMN\) i tw. Snelliusa: \(\frac{a}{\sin(180^\circ-4\alpha)}=\frac{h}{\sin3\alpha}\So h=\ldots\)
3. Z \(\Delta NMS\) i tw. Snelliusa: \(\frac{|SM|}{\sin4\alpha}=\frac{h}{\sin(180^\circ-6\alpha)}=\frac{|NS|}{\sin2\alpha}\So \begin{cases}|SP|=|SM|=\ldots\\ |NS|=\ldots\end{cases}\)
4. \(\Delta LKS\sim\Delta ADS,\ (bkb): \frac{b}{|NS|}=\frac{a}{|SP|}\So b=\ldots\)
5. Przekrojem jest trapez równoramienny o polu \(S_{BCKL}=\frac{a+b}{2}\cdot h=\ldots\)

Pozdrawiam

[edited] Zauważyłem, że na rysunku zniknęło: \(\alpha\in(0; {\pi\over6})\), co jest warunkiem istnienia danego ostrosłupa!

[anilewe_MM]

Skąd się biorą takie trolle jak @uziom?