Logarytmy - dowód

[PitreWace]

Wykaż, że dla dowolnej liczby \(a > 0\) prawdziwa jest nierówność:

\(
\log^2(\pi a) + \log^2(\pi+a) \ge \frac{2}{\log_{(\pi+a)}10} - \log_{\pi}\pi\)

[eresh]

Wykaż, że dla dowolnej liczby a > 0 prawdziwa jest nierówność:

\(
log^2(\pi a) + log^2(\pi+a) \ge \frac{2}{\log_{(\pi+a)}10} - \log_{\pi}\pi\)

\(\log^2(\pi a)+\log^2(\pi +a)\geq 2\log (\pi+a)-1\\
\log^2(\pi a)+\log^2(\pi +a)-2\log (\pi+a)+1\geq 0\\
\log^2(\pi a)+(\log (\pi +a)-1)^2\geq 0\)

[Jerry]

Nierówność jest równoważna kolejno:
\(\log^2(\pi a) + \log^2(\pi+a) \ge \frac{2}{\log_{(\pi+a)}10} - \log_{\pi}\pi\\
\log^2(\pi a) + \log^2(\pi+a) \ge 2\log (\pi+a) - 1\\
\log^2(\pi a) + \log^2(\pi+a) - 2\log (\pi+a) + 1\ge0\\
\log^2(\pi a) + (\log(\pi+a) -1)^2\ge0\)
co jest prawdą, zatem teza jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam
PS. Równość nie zachodzi, bo \(\pi+{1\over\pi}\ne 10\).

[edited] eresh: pozdrawiam świątecznie!