okrag dopisany
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 73
- Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
okrag dopisany
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\), w którym \(|\angle BAC|=60^\circ\), punkty \(M\) i \(N\) leżą odpowiednio na bokach \(AC\) i \(AB\), tak że \(CM=MN=NB\). \(O\) jest środkiem okręgu dopisanego trójkąta \(ANM\), stycznego do \(MN\). Oblicz miarę kąta \(BOC\)
Ostatnio zmieniony 29 mar 2023, 11:34 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: okrag dopisany
Zrobiłem schludny rysunek i postawiłem hipotezę, że punkty \(B,\ O,\ C\) są wspólliniowe.
Niech w \(\Delta ANM:\ |AN|=m>0,\ |AM|=n>0\). Wtedy:
Pozdrawiam
PS.A niesympatyczne rachunki z "\(\ldots\)" sprawdź, proszę - ja to tylko potraktowałem "iloczyn wyrazów skrajnych równy iloczynowi wyrazów środkowych"
Niech w \(\Delta ANM:\ |AN|=m>0,\ |AM|=n>0\). Wtedy:
- z tw. Carnota \(|MN|=\sqrt{m^2+n^2-mn}\)
- z wzoru długość \(R\) promienia dopisanego spełnia
\({1\over2}mn\cdot{\sqrt3\over2}={1\over2}R(m+n-\sqrt{m^2+n^2-mn})\iff R=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{6}\) - \(|AO|=2R=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{3}\)
- w \(\Delta ABC: |AB|=c=m+\sqrt{m^2+n^2-mn},\ |AC|=b=n+\sqrt{m^2+n^2-mn}\)
- długość \(d\) odcinka \(\overline{AP}\) dwusiecznej zawartego w \(\Delta ABC\) spełnia
\({1\over 2}bc\cdot{\sqrt3\over2}={1\over 2}bd\cdot{1\over2}+{1\over 2}bd\cdot{1\over2}\iff d=\frac{bc\sqrt3}{b+c}\)
zatem
\(|AP|=\frac{(n+\sqrt{m^2+n^2-mn})(m+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{m+n+2\sqrt{m^2+n^2-mn}}=\ldots=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{3}=|AO|\)
Pozdrawiam
PS.A niesympatyczne rachunki z "\(\ldots\)" sprawdź, proszę - ja to tylko potraktowałem "iloczyn wyrazów skrajnych równy iloczynowi wyrazów środkowych"
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy