Zadanie z ciągiem.

[Taotao2]

Ciąg \(a_0,a_1,a_2, ...\) jest określony przez warunki: \(a_0=-1\) oraz \(a_n+ \frac{a_{n-1}}{2}+ \frac{a_{n-2}}{3}+...+ \frac{a_1}{n} + \frac{a_0}{n+1} =0 \) dla \(n ≥1 \).
Wykaż, że \(a_n>0\) dla \(n ≥1 \)

[nijak]

Rozwiążmy metodą indukcji.
Liczba \(a_1= \frac{1}{2} \) jest dodatnia. Przypuśmy z kolei, że dla dowolnego wskaźnika \(n\) liczby \(a_1, a_2,...a_n\) są dodatnie. Trzeba udowodnić, że liczba \(a_{n+1}\) jest również dodatnia. W tym celu zauważmy, że prawdziwa jest zależność
\[ \frac{1}{k+1} \le \frac{n}{n+1}\cdot \frac{1}{k} \] dla \(k=1,2,...,n,\)

gdyż jest ona równoważna nierówności \((n+1)k=nk+k \le (k+1)n=nk+n\). Zatem korzystając z założenia indukcyjnego oraz z danej w treści zadania równości otrzumujemy
\[ \frac{1}{n+2}=a_{n+1}+ \frac{a_n}{2} + \frac{a_{n-1}}{3}+...+ \frac{a_2}{n} + \frac{a_1}{n+1} \le a_{n+1}+ \frac{n}{n+1}( a_n+ \frac{a_{n-1}}{2}+ ...+\frac{a_2}{n-1} + \frac{a_1}{n} ) = \]
\[=a_{n+1}+ \frac{n}{n+1}\cdot \frac{-a_0}{n+1} =a_{n+1}+ \frac{n}{(n+1)^2} \]

Wobec tego spełniona jest nierówność
\[a_{n+1} \ge \frac{1}{n+2}-\frac{n}{(n+1)^2} = \frac{1}{(n+1)^2(n+2)}>0, \]
która kończy dowód indukcyjny i rozwiązanie.

Pozdrawiam