Bardzo proszę o pomoc, nie wiem jak się za to zabrać.
Zbadać zbieżność szeregu
\( \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{( \ln n) ^{ \ln n} } \)
Zbadać zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Tulio
- Stały bywalec
- Posty: 302
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 21 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
- Płeć:
Re: Zbadać zbieżność szeregu
Niech \(a_n = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\) wtedy \(\sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\frac{\ln n}{n}} } = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}}\)
udowodnimy, że
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1\) dla każdego \(n>e\)
Istotnie dla \(n=e\) nasz ułamek jest równy \(1\), zaś dla \(n>e\) mamy:
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1^{\ln n^{\frac{1}{n}}} \iff * \iff \ln n > 1\)
co jest prawdziwe dla każdego \(n>e\)
Gwiazdką zaznaczyłem fakt, że musi jeszcze zachodzić warunek, że wykładnik jest większy od \(0\) (czyli, że nie powoduje zmniejszenia liczby większej od \(1\) do liczby mniejszej od \(1\)), ale to jest oczywiste gdyż jest to \(\ln \sqrt[n]{n} \) i pierwiastek dąży do jeden (z prawej), a więc logarytm dąży do zera (z prawej).
A zatem \(\sqrt[n]{a_n} < 1\) dla każdego \(n>e\), z kryterium Cauchy'ego więc mamy, że zbieżny musi być szereg
\(\sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)
a zatem zbieżny jest też:
\(\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} } = \frac{1}{ \left( \ln 2\right)^{\ln 2} } + \sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)
udowodnimy, że
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1\) dla każdego \(n>e\)
Istotnie dla \(n=e\) nasz ułamek jest równy \(1\), zaś dla \(n>e\) mamy:
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1^{\ln n^{\frac{1}{n}}} \iff * \iff \ln n > 1\)
co jest prawdziwe dla każdego \(n>e\)
Gwiazdką zaznaczyłem fakt, że musi jeszcze zachodzić warunek, że wykładnik jest większy od \(0\) (czyli, że nie powoduje zmniejszenia liczby większej od \(1\) do liczby mniejszej od \(1\)), ale to jest oczywiste gdyż jest to \(\ln \sqrt[n]{n} \) i pierwiastek dąży do jeden (z prawej), a więc logarytm dąży do zera (z prawej).
A zatem \(\sqrt[n]{a_n} < 1\) dla każdego \(n>e\), z kryterium Cauchy'ego więc mamy, że zbieżny musi być szereg
\(\sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)
a zatem zbieżny jest też:
\(\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} } = \frac{1}{ \left( \ln 2\right)^{\ln 2} } + \sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)