Szereg

[enta]

Zbadać zbieżność szeregu \( \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n+\ln n} \)

[Tulio]

Będziemy rozpatrywać kryterium Raabego. Wersja graniczna
\(a_n = \frac{1}{n+\ln n}\)
\(a_{n+1} = \frac{1}{n+1+\ln \left( n+1\right) }\)
\( \Lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \frac{a_{n}}{a_n + 1} - 1 \right) = \Lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \frac{n+1+\ln \left( n+1\right) }{n+\ln n} - 1\right) = \Lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \frac{n+1+\ln \left( n+1\right) }{n+\ln n} - \frac{n+\ln n}{n+\ln n} \right) =\\=\Lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \frac{1+\ln \left( n+1\right) - \ln n }{n+\ln n} \right) =\Lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \frac{1+\ln \left( \frac{n+1}{n}\right) }{n+\ln n} \right) = \Lim_{n\to \infty} \frac{n+n\ln \left( \frac{n+1}{n}\right) }{n+\ln n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{n+n\ln \left( \frac{n+1}{n}\right) }{n+\ln n} = \\ =\Lim_{n\to \infty} \frac{n+\ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^n }{n+\ln n} = 1\)
wersja graniczna nic nam nie dała, ale wersja pełna:
\(n \cdot \left( \frac{a_{n}}{a_n + 1} - 1 \right)= \frac{n+\ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^n }{n+\ln n}\)
Zauważmy, że dla wszystkich \(n>2\) mamy \(\ln n > e > \ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^n\) to znaczy, że dla każdego \(n>2\):
\(\frac{n+\ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^n }{n+\ln n}<1\) i dąży do \(1\)
a to oznacza (na mocy pełnego kryterium Raabego), że szereg jest rozbieżny.

[Icanseepeace]

Dla \( n \geq 8 \) mamy następującą nierówność:
\( \frac{1}{n + \ln (n)} \geq \frac{1}{n\cdot \ln(n)} \)
Z kryterium kondensacyjnego wiemy, że szereg \( \sum\limits_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln(n)} \) jest rozbieżny.
Dlatego korzystając z kryterium porównawczego wnioskujemy rozbieżność szeregu \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n + \ln(n)} \)