Udowodnić, że jeżeli \(y \le \frac{2}{3}x\), to \(\forall_{x,y\in\rr} \) prawdziwa jest nierówność:
\(y^{3}\le \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2})\)
Próbowałem przekształcić to jakoś równoważnie, ale bez pozytywnego skutku
Dowód nierówności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Treść taką niestety dostałem...szw1710 pisze: ↑18 lut 2023, 17:33 Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy.xenoneq_o0 pisze: ↑18 lut 2023, 18:37 W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Wiadomo jestem mądry po fakcie, ale dokładnie to miałem na myśli co mówisz, że to zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Również dobrej niedzieliszw1710 pisze: ↑18 lut 2023, 19:44Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy.xenoneq_o0 pisze: ↑18 lut 2023, 18:37 W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynnikiMożna natomiast powiedzieć, że zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Życzę dobrej niedzieli.
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)