Uzasadnić ze

[EatonFS]

Udowodnić ze ciąg \(x_n=((-1)^n+1)n\) nie ma granicy

[grdv10]

Podciąg \(x_{2n}=4n\) zmierza do nieskończoności, tymczasem podciąg \(x_{2n-1}=0\) zmierza do zera. Każd podciąg ciągu zbieżnego zmierza do tej samej granicy.

[EatonFS]

Nie bardzo rozumiem, czy można jakoś inaczej to udowodnić?

[grdv10]

Można to udowodnić bezpośrednio z definicji. Ja skorzystałem z twierdzenia, które zacytowałem w swojej odpowiedzi.

Wskazówki.

1. Przypuśćmy, że ciąg ma granicę właściwą, czyli skończoną, powiedzmy, \(a\in\rr\). Przyjmij \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) i rozważ wyrazy o numerach parzystych.

2. Przypuśćmy, że ciąg ma granicę równą \(+\infty\). Ponownie przyjmij \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) i rozważ wyrazy o numerach nieparzystych.

3. Ponieważ \(x_n\geqslant 0\) dla każdego \(n\in\nn\), to ciąg nie może zmierzać do \(-\infty\).