Witam serdecznie.
Prosiłbym o rozwiązanie 2 zadań.
Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
1. \(y=\frac{(x+1)^2}{2x}\)
2. \(y=\frac{(x+3)^3}{(x+2)^2}\)
Pozdrawiam
Przebieg zmienności funkcji - 2 zadania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3662
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1989 razy
Re: Przebieg zmienności funkcji - 2 zadania
\(y=f(x)={1\over2}x+1+{1\over2x}\)
- \[D=\rr\setminus\{0\}\]
- \(f\) ciągła i różniczkowalna w przedziałach określoności, nieokreślona pw. parzystości, nie jest okresowa
- \(\Lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
- \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty\)
- \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\)
- \(\Lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
- asymptota pionowa \(x=0\), ukośna \(y={1\over2}x+1\)
- \(y=0\iff x=-1\)
- \(x=0\notin D\)
- \(\begin{cases}y=f(x)\\y={1\over2}x+1\end{cases}\So (x,y)\in\emptyset\)
- \[y'=f'(x)={1\over2}-{1\over2x^2}={(x-1)(x+1)\over2x^2}\wedge D'=D\]
- WKIE: \[y'=0\iff x\in\{-1,1\}\]
- WDIE, monotoniczność: \[f\nearrow(-\infty;-1]\wedge f\searrow[-1;0)\wedge f\nearrow(0;1]\wedge f\searrow[1,+\infty)\\
\begin{cases}x=-1\\y_\max=f(-1)=0\end{cases}\vee\begin{cases}x=1\\y_\min=f(1)=2\end{cases}\] - \[y''=f''(x)={1\over x^3}\wedge D''=D'=D\]
- WKIPP:\[y''=0\iff x\in\emptyset\]
- WDIPP, wypukłość: funkcja wklęsła w \((-\infty;0)\) i wypukła w \((0;+\infty)\)
- \[ \begin{array}{|c|c|}
x &-\infty&\nearrow&-1&\nearrow&0&\nearrow&1&\nearrow&+\infty \\\hline
y'&&+&0&-&&-&0&+&\\\hline
y''&&-&&-&&+&&+&\\\hline
y&-\infty&\nearrow&0&\searrow&_{-\infty}\ ^{+\infty}&\searrow&2&\nearrow&+\infty\end{array} \] - wykres