Zadanie optymalizacyjne o prostokącie polu i obwodzie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Zadanie optymalizacyjne o prostokącie polu i obwodzie
Raczej najmniejszy...
Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną
\[\bigwedge\limits_{a,b\in\rr_+}\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\text{ i równość dla } a=b\]
jeśli \(ab=36\), to \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{36}\), czyli \(Ob=2a+2b\ge24\) i równość zachodzi dla \(a=b=6\)
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Zadanie optymalizacyjne o prostokącie polu i obwodzie
Albo:
Niech \(x>0\) będzie długością boku prostokąta, wtedy \({36\over x}\) jest długością drugiego boku i jego obwód określa funkcja \[y=f(x)=2x+{72\over x} \quad \wedge \quad D=(0;+\infty)\]
Pozdrawiam
Niech \(x>0\) będzie długością boku prostokąta, wtedy \({36\over x}\) jest długością drugiego boku i jego obwód określa funkcja \[y=f(x)=2x+{72\over x} \quad \wedge \quad D=(0;+\infty)\]
- \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=\Lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
- \(y'=f'(x)=2-{72\over x^2}=\frac{2(x+6)}{x^2}\cdot(x-6)\quad\wedge\quad D'=D\)
- WKIE: \(y'=0\iff x=6\)
- WDIE: Analizując znak pochodnej mamy \(f\searrow(0;6)\wedge f\nearrow(6;+\infty)\), zatem \(\begin{cases}x=6\\ y_\min=f(6)=24\end{cases}\)
Pozdrawiam