planimetria

[franco11]

Dany jest trapez \(ABCD\) o obwodzie \(l\) i podstawach \(AB\) i \(CD\) takich że, \(|AB|>|CD|\). Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna \(AC\) trapezu ma długość \(d\).Wykaż źe promień \(R\) okręgu opisanego na trapezie \(ABCD\) jest równy \[R= \frac{dl}{2 \sqrt{16d^2-l^2} } \]
(Podstawa \(AB\) nie zawiera środka okręgu opisanego)

[Jerry]

1. Zrób schludny rysunek, poprowadź wysokość \(\overline{CM}\) długości \(h\). Zauważ równoramienność trapezu i fakt, że \(|AM|={|AB|+|CD|\over2}\). Niech \(|\angle ABC|=\beta\)
2. Z możliwości wpisania okręgu w trapez wynika, że ramię trapezu \(c={|AB|+|CD|\over2}={l\over4}\)
3. Z \(\Delta AMC\) i tw. Pitagorasa: \(h=\sqrt{d^2-({l\over4})^2}\)
4. Z \(\Delta MBC\): \(\sin\beta={h\over c}=\ldots\)
5. Z \(\Delta ABC\) i tw. Snelliusa: \(R={d\over2\sin\beta}=\ldots\)

Pozdrawiam