podzielność z resztą

[icerstop]

Ze zbioru \(B=\{1, 2, 3, ..., 3n+2\}\), \(n \in \nn +\), losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu trzech liczb ze zbioru \(B\), których suma przy dzieleniu przez trzy daje resztę dwa.

[Jerry]

\(\Omega\) jest zbiorem \(3\)-elementowych kombinacji b/p zbioru (\(3n+2\))-elementowego. Zatem \(\nad{=}{\Omega}={3n+2\choose3}=\ldots\)

Niech \(B_i\) oznacza podzbiór zbioru \(B\) liczb takich, że reszta z dzielenia ich przez \(3\) jest równa \(i\).
Wtedy \(\nad{=}{B_0}=n,\ \nad{=}{B_1}=\nad{=}{B_2}=n+1\).
Zdarzeniu \(A\) , danemu treścią zadania, sprzyjają wybory:

• dwóch elementów z \(B_0\) i jednego z \(B_2\)
• dwóch elementów z \(B_1\) i jednego z \(B_0\)
• dwóch elementów z \(B_2\) i jednego z \(B_1\)

Zatem \(\nad{=}{A}={n\choose2}\cdot{n+1\choose1}+{n+1\choose2}\cdot{n\choose1}+{n+1\choose2}\cdot{n+1\choose1}=\ldots\)
Zakładając jednakowe p-wa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplac'e \(p(A)=\frac{\nad{=}{A}}{\nad{=}{\Omega}}=\ldots\)

Pozdrawiam