Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
\(y' \frac{x}{y} - 1 = y'\)
\(y = xz\)
\((z + xz')\frac{1}{z} - 1 = z + xz'\)
\(z' \frac{x}{z} = z + xz'\)
\(xz'(\frac{1}{z} - 1) = z\)
\(z'(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z}) = \frac{1}{x}\)
\(\frac{1}{z} - \ln|z| = \ln|x|+C\)
\(\frac{x}{y} - \ln|\frac{y}{x}|+C = \ln|x|\)
\(\frac{x}{y} = \ln|y|+C\)
\(x = y\ln|y|+Cy\)
\(C = -1\)
\(y = xz\)
\((z + xz')\frac{1}{z} - 1 = z + xz'\)
\(z' \frac{x}{z} = z + xz'\)
\(xz'(\frac{1}{z} - 1) = z\)
\(z'(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z}) = \frac{1}{x}\)
\(\frac{1}{z} - \ln|z| = \ln|x|+C\)
\(\frac{x}{y} - \ln|\frac{y}{x}|+C = \ln|x|\)
\(\frac{x}{y} = \ln|y|+C\)
\(x = y\ln|y|+Cy\)
\(C = -1\)
Ostatnio zmieniony 10 sty 2021, 22:33 przez Młodociany całkowicz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Fachowiec
- Posty: 1863
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Rozwiązując równania różniczkowe każdego typu ( o zmiennych rozdzielonych jednorodne, liniowe jednorodne, liniowe niejednorodne) musimy uwzględniać założenia dotyczące przekształceń i otrzymywanych wyników.
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
\(xy^{'}-ydx=yy^{'}\) dzielimy obie strony przez y
\(y^{'} \frac{x}{y}-dx=y^{'}\)
Dlaczego potem jest \(y^{'} \frac{x}{y} -1=y^{'}\)
\(y^{'} \frac{x}{y}-dx=y^{'}\)
Dlaczego potem jest \(y^{'} \frac{x}{y} -1=y^{'}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1863
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
\(\begin{cases} x dy - ydx = ydy \\ y(-1) =1 \end{cases} \)
\( x dy - ydx = ydy |\cdot \frac{1}{x}, \ \ x \neq 0 \)
\( dy -\frac{y}{x}dx = \frac{y}{x}dy \)
\( dy - \frac{y}{x}dy = \frac{y}{x}dx \)
\( y' \left(1 - \frac{y}{x}\right) = \frac{y}{x} \)
\( \frac{y}{x} = u \)
\( y = x\cdot u \ \ (1)\)
\( y' = u + xu' \)
\( (u + xu')( 1 -u) = u \)
\( u +xu' = \frac{u}{1-u} \)
\( xu' = \frac{u}{1-u} -u = \frac{u -u + u^2}{u} = u \)
\( \int \frac{du}{u} = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \ln|u| = \ln|x| + A \)
\( u = C x , \ \ C = e^{A} \)
Na podstawie \( (1) \)
\( y = Cx^2 \)
Rozwiązaniem ogólnym równania jest rodzina parabol o wspólnym wierzchołku \( (0,0). \)
Rozwiązanie szczególne:
\( 1 = C (-1)^2, \ \ C= 1\)
\( y _{s} = x^2. \)
\( x dy - ydx = ydy |\cdot \frac{1}{x}, \ \ x \neq 0 \)
\( dy -\frac{y}{x}dx = \frac{y}{x}dy \)
\( dy - \frac{y}{x}dy = \frac{y}{x}dx \)
\( y' \left(1 - \frac{y}{x}\right) = \frac{y}{x} \)
\( \frac{y}{x} = u \)
\( y = x\cdot u \ \ (1)\)
\( y' = u + xu' \)
\( (u + xu')( 1 -u) = u \)
\( u +xu' = \frac{u}{1-u} \)
\( xu' = \frac{u}{1-u} -u = \frac{u -u + u^2}{u} = u \)
\( \int \frac{du}{u} = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \ln|u| = \ln|x| + A \)
\( u = C x , \ \ C = e^{A} \)
Na podstawie \( (1) \)
\( y = Cx^2 \)
Rozwiązaniem ogólnym równania jest rodzina parabol o wspólnym wierzchołku \( (0,0). \)
Rozwiązanie szczególne:
\( 1 = C (-1)^2, \ \ C= 1\)
\( y _{s} = x^2. \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Nie bardzo rozumiem skąd \(xu^{'}= \frac{u}{1-u}-u= \frac{u-u(1-u)}{1-u}= \frac{u^2}{u}=u\) Przecież to jesu \( \frac{u^2}{1-u}\)
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Po obustronnym podzieleniu przez \(dx\) jest \( xy' - y = yy'\) i dzielimy obustronnie przez \(y\)Januszgolenia pisze: ↑11 sty 2021, 07:22 \(xy^{'}-ydx=yy^{'}\) dzielimy obie strony przez y
\(y^{'} \frac{x}{y}-dx=y^{'}\)
Dlaczego potem jest \(y^{'} \frac{x}{y} -1=y^{'}\)
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Sądzę, że twoja uwaga była słuszna.Januszgolenia pisze: ↑11 sty 2021, 18:47 Nie bardzo rozumiem skąd \(xu^{'}= \frac{u}{1-u}-u= \frac{u-u(1-u)}{1-u}= \frac{u^2}{u}=u\) Przecież to jesu \( \frac{u^2}{1-u}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1863
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe
Korekta
\( xu' = \frac{u^2}{1-u} \)
\( \int \frac{1-u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx \)
\( \int \left( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{u} \right)du = \int\frac{1}{x}dx \)
\( -\frac{1}{u} - \ln u = \ln(x) + A \)
\( \ln \left(e^{-\frac{1}{u}} \right ) - \ln(u) = \ln(x) + A \)
\(\ln \left(\frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}\right) = \ln(x) + A \)
\( \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u} = C\cdot x , \ \ C = e^{A} \)
\( e^{-\frac{1}{u}} = u\cdot C\cdot x = C\cdot y \)
\( -\frac{x}{y} = \ln( C \cdot y), \ \ C \cdot y >0 \)
\( - x = y\cdot \ln(C \cdot y) \) - rozwiązanie ogólne równania
Warunek początkowy:
\( 1 = 1\ln[ C\cdot (1)], \)
\( \ln (C) = 1, \ \ C = e.\)
\( x = y\cdot \ln (e \cdot y). \) - rozwiązanie szczególne.
\( xu' = \frac{u^2}{1-u} \)
\( \int \frac{1-u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx \)
\( \int \left( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{u} \right)du = \int\frac{1}{x}dx \)
\( -\frac{1}{u} - \ln u = \ln(x) + A \)
\( \ln \left(e^{-\frac{1}{u}} \right ) - \ln(u) = \ln(x) + A \)
\(\ln \left(\frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}\right) = \ln(x) + A \)
\( \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u} = C\cdot x , \ \ C = e^{A} \)
\( e^{-\frac{1}{u}} = u\cdot C\cdot x = C\cdot y \)
\( -\frac{x}{y} = \ln( C \cdot y), \ \ C \cdot y >0 \)
\( - x = y\cdot \ln(C \cdot y) \) - rozwiązanie ogólne równania
Warunek początkowy:
\( 1 = 1\ln[ C\cdot (1)], \)
\( \ln (C) = 1, \ \ C = e.\)
\( x = y\cdot \ln (e \cdot y). \) - rozwiązanie szczególne.
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy