Graniastosłup prawidłowy czworokątny

[zwierzaczysko]

Uzasadnij, że graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego przekątna ma długość 1 dm, ma największą objętość, gdy wszystkie jego krawędzie mają długość równą \( \frac{ \sqrt{3} }{3} dm \)

[Jerry]

W
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=21&t=90058
przyjmij, że
\(a=b\), \(p=a\sqrt2\) i \(d=1\)

Pozdrawiam

[grdv10]

Niech \(a,h\) oznaczają standardowo krawędź podstawy i wysokość prostopadłościanu. Kwadrat przekątnej to \(2a^2+h^2=1\) z danych zadania, więc \(a^2=\frac{1-h^2}{2}.\) Skoro \(V=a^2h\), to do zoptymalizowania jest funkcja \(f(h)=(1-h^2)h=h-h^3\) przy \(0<h<1\), co wynika z tego, że krawędzie prostopadłościanu są krótsze niż przekątna. Standardowo pochodna \(f'(h)=1-3h^2\) ma znak..., więc funkcja \(f\) ma maksimum dla \(h=\dots\).