Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
bla123
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 11 sty 2019, 17:54
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: bla123 »

Cześć, potrzebuję wskazówek z paroma przykładami. Należy obliczyć pochodną oraz wyznaczyć monotoniczność. Kłopot mam nie z liczeniem pochodnym,a z obliczaniem warunków koniecznych i wystarczających do istnienia ekstremum. Nie proszę o suche rozwiązanie, zależy mi na wytłumaczeniu.

1) f(x)= \(e^{-x}\) + \(e^{2x}\)
Pochodna wyszła mi f'(x)= \(-e^{-x}\) + \(2e^{2x}\)

I teraz zaczynają się schody. Jak to dziadostwo obliczyć? f'(x)=0?
Doszedłem do momentu ----> \(2e^{3x}\) - 1=0 --> \(e^{3x}\) = \( \frac{1}{2} \) no i utknąłem :|

2) f(x) = \(sinx^{2}\) +cosx
f'(x) = 2sinxcos - sinx

Przyrównałem do 0, wyszło x=0+k \(\pi \), x=\(\pi \)/3 +2k\(\pi \), x= -\(\pi \)/3 +2k\(\pi \),
I nie mogę się uporać z nierównością, aby wyznaczyć przedziały kiedy f'(x) jest większe, a kiedy mniejsze od 0.

Będę wdzięczny za pomoc :)
Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8799
Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4450 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: patryk00714 »

Postaraj się zapisać pochodną funkcji w postaci iloczynu wyrażeń. Wiemy bowiem, że \(a \cdot b =0 \iff a=0 \vee b=0\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)
bla123
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 11 sty 2019, 17:54
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: bla123 »

Rozumiem, że wskazówka tyczy 1). Myślałem nad wystawieniem \(e^{-x}\)przed nawias mamy wtedy \(e^{-x}\)(\(2e^{3x}\) - 1) = 0
e^(-x) nigdy nie będzie = 0. Więc dalej zostaje do policzenia ten nawias :P
radagast
Guru
Guru
Posty: 17554
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: radagast »

bla123 pisze: 28 paź 2019, 20:50
I teraz zaczynają się schody. Jak to dziadostwo obliczyć? f'(x)=0?
Doszedłem do momentu ----> \(2e^{3x}\) - 1=0 --> \(e^{3x}\) = \( \frac{1}{2} \) no i utknąłem :|
\(e^{3x}=\frac{1}{2} \iff 3x=\ln\frac{1}{2} \iff 3= \frac{-\ln 2}{3} \)
tylko to Ci niewiele daje skoro masz badać monotoniczność . Należałoby raczej zbadać znak pochodnej czyli rozwiązać nierówność \(e^{-x}(2e^{3x}- 1)>0\)
Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8799
Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4450 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: patryk00714 »

bla123 pisze: 28 paź 2019, 21:23 Rozumiem, że wskazówka tyczy 1). Myślałem nad wystawieniem \(e^{-x}\)przed nawias mamy wtedy \(e^{-x}\)(\(2e^{3x}\) - 1) = 0
e^(-x) nigdy nie będzie = 0. Więc dalej zostaje do policzenia ten nawias :P
Dokładnie. Z tej postaci możesz także zbadać znak pochodnej. Wskazówka dotyczy także przykładu 2.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6284
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1539 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: korki_fizyka »

sgn y' = sgn\([e^{-x}(2e^{3x}- 1)]\) => y' < 0 <=> \( - \infty\) < x < -0,231 ^ y' > 0 <=> -0,231 < x < \( \infty\) czyli funkcja ma minimum dla \(x = -\frac{\ln 2}{3}\)
Poszukaj w internecie zeszytu 18 z serii Biblioteczka Opracowań Matematycznych, znajdziesz tam 50 pełnych przebiegów funkcji rozwiązanych krok po kroku.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
bla123
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 11 sty 2019, 17:54
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: bla123 »

Radagast: Chciałem załatwić ten warunek konieczny dla istnienia ekstremum, x, dla którego pochodna się zeruje.
No dobra, to rozwiązujemy tą nierówność. \(e^{-x}\) zawsze >0
(\(2e^{3x}\) - 1 > 0
(\(e^{3x}\) > 1/2
i... co teraz? Jakbyście mogli wyjaśnić jakie następują tu przekształcenia byłbym wdzięczny
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6284
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1539 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: korki_fizyka »

Przecież ci napisali 4 posty wyżej, że trzeba zlogarytmować.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
bla123
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 11 sty 2019, 17:54
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Re: Pochodne funkcji oraz monotoniczność

Post autor: bla123 »

Pojawił się zapis, chciałem aby wytłumaczono te transformacje. Juz nie ważne, bo zrozumiałem.
ODPOWIEDZ