Rozwiąż równanie :
\(y'= \frac{9+y}{9+x}\) \(~~~~~~\) \(y(0)=9\)
\(y'= \frac{9}{x+y}\)
\(y'- \frac{9y}{x} = \frac{x+1}{x}\)
Rozwiąż równanie :
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
a) Równanie możemy zapisać w równoważnej, a wygodniejszej formie: \(\frac{dy}{dx}= \frac{9+y}{9+x}\)
Wtedy \(\frac{dy}{9+y}= \frac{dx}{9+x} \So \ln|9+y|=\ln|9+x| \So y+9=Ce^{x+9} \iff y=Ce^{x+9}-9\)
Skoro \(y(0)=9 \So Ce^9-9=9 \iff Ce^9=18 \iff C=18e^{-9}\)
Teraz mamy
Wtedy \(\frac{dy}{9+y}= \frac{dx}{9+x} \So \ln|9+y|=\ln|9+x| \So y+9=Ce^{x+9} \iff y=Ce^{x+9}-9\)
Skoro \(y(0)=9 \So Ce^9-9=9 \iff Ce^9=18 \iff C=18e^{-9}\)
Teraz mamy
- \[y=Ce^{x+9}-9=18e^{-9}e^{x+9}-9=18e^x-9\]
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
c) Najpierw równanie jednorodne: \(y'- \frac{9y}{x}=0 \So y=cx^9\) (chyba dasz radę sam to zrobić).
Teraz uzmienniam stałą c=c(x), więc \(y'=c'x^9+9cx^8\) i nasze równanie przyjmuje postać
\(c'x^9+9cx^8- \frac{9cx^9}{x}= \frac{x+1}{x} \iff c'= \frac{x+1}{x^{10}} \So c=- \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\) co daje \[y= \left( - \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\right) x^9=Cx^9- \frac{x^3-8}{8x^2}\]
Teraz uzmienniam stałą c=c(x), więc \(y'=c'x^9+9cx^8\) i nasze równanie przyjmuje postać
\(c'x^9+9cx^8- \frac{9cx^9}{x}= \frac{x+1}{x} \iff c'= \frac{x+1}{x^{10}} \So c=- \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\) co daje \[y= \left( - \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\right) x^9=Cx^9- \frac{x^3-8}{8x^2}\]