Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kate84
Stały bywalec
Posty: 738 Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:
Post
autor: kate84 » 09 lut 2018, 20:27
Udowodnij zbieżnosc i zbieznosc bezwzględną szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)
radagast
Guru
Posty: 17552 Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:
Post
autor: radagast » 10 lut 2018, 11:38
kate84 pisze: Udowodnij zbieżnosc i zbieznosc bezwzględną szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)
\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
zatem
\(\left| \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n} \right|= \frac{1}{ln^2 n}\)
tymczasem
\(\frac{1}{ln^2 n}> \frac{1}{n}\) , co wobec rozbieżności szeregu
\(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\) , świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.
radagast
Guru
Posty: 17552 Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:
Post
autor: radagast » 10 lut 2018, 11:59
Ale zbieżny jest:
\(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)
\(\frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}= (-1)^n \frac{1}{ln^2 n}\) i na podstawie kryterium Leibniza mamy zbieżność
kate84
Stały bywalec
Posty: 738 Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:
Post
autor: kate84 » 10 lut 2018, 12:01
Skąd się to wzięło?:
\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.
A sama zbieżnosc?
radagast
Guru
Posty: 17552 Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:
Post
autor: radagast » 10 lut 2018, 12:18
kate84 pisze: Skąd się to wzięło?:
\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.
cosinus parzystych wielokrotności
\(\pi\) to 1, a cosinus nieparzystych wielokrotności
\(\pi\) to -1
kate84
Stały bywalec
Posty: 738 Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:
Post
autor: kate84 » 10 lut 2018, 12:22
\(\frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}= (-1)^n \frac{1}{ln^2 n}\)
skąd to?
radagast
Guru
Posty: 17552 Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:
Post
autor: radagast » 10 lut 2018, 12:30
cosinus parzystych wielokrotności
\(\pi\) to 1, a cosinus nieparzystych wielokrotności
\(\pi\) to -1
[/quote]