\(\frac{1}{log_2 x}<1+ \frac{1}{log_2 x - 1}\)
Bardzo proszę o szybką pomoc.
Nierówność logarytmiczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(log_2x=t\;\;\;\;i\;\;\;x>0\;\;\;i\;\;\;x\neq 2\)
\(\frac{1}{t}<1+ \frac{1}{t-1}\\ \frac{1}{t(t-1)}- \frac{t(t-1)}{t(t-1)}- \frac{t}{t(t-1)}<0\\ \frac{1-t^2}{t(t-1)}<0\;/*(-1)\)
\(\frac{t^2-1}{t(t-1)}>0\\ \frac{(t-1)(t+1)}{t(t-1)} >0\\ \frac{t+1}{t}>0\\t(t+1)>0\\t<-1\;\;\;lub\;\;\;t>0\\log_2x<-1\;\;\;lub\;\;\;log_2x>0\)
\(log_2x<log_2{ \frac{1}{2} }\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;log_2x>log_21\)
\(x< \frac{1}{2}\;\;\;\;lub\;\;\;x>1\)
Uwzględniając założenia dotyczące dziedziny otrzymasz:
\(x\in (0; \frac{1}{2}) \cup (1;2) \cup (2;+ \infty )\)
\(\frac{1}{t}<1+ \frac{1}{t-1}\\ \frac{1}{t(t-1)}- \frac{t(t-1)}{t(t-1)}- \frac{t}{t(t-1)}<0\\ \frac{1-t^2}{t(t-1)}<0\;/*(-1)\)
\(\frac{t^2-1}{t(t-1)}>0\\ \frac{(t-1)(t+1)}{t(t-1)} >0\\ \frac{t+1}{t}>0\\t(t+1)>0\\t<-1\;\;\;lub\;\;\;t>0\\log_2x<-1\;\;\;lub\;\;\;log_2x>0\)
\(log_2x<log_2{ \frac{1}{2} }\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;log_2x>log_21\)
\(x< \frac{1}{2}\;\;\;\;lub\;\;\;x>1\)
Uwzględniając założenia dotyczące dziedziny otrzymasz:
\(x\in (0; \frac{1}{2}) \cup (1;2) \cup (2;+ \infty )\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.