Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 71
- Rejestracja: 28 kwie 2013, 13:34
- Podziękowania: 215 razy
- Płeć:
Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
1) W równoległoboku \(ABCD\) bok \(AB\) jest o 2 cm dłuższy od boku \(BC\), a kąt zawarty między tymi bokami ma miarę \(120^ \circ\). Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli wiadomo, że dłuższa przekątna równoległoboku ma długość \(\sqrt{109}\)
2) W trójkącie rozwartokątnym \(ABC\) \((| \angle ACB| \in (90^ \circ , 180^ \circ ))\) długości boków spełniają warunki: \(|BC| = |AC| + 2\), \(|AB| = |AC| + 4\) oraz \(|AC| > 2\). Ustal, do jakiego przedziału liczbowego należy dlugość boku \(AC\).
2) W trójkącie rozwartokątnym \(ABC\) \((| \angle ACB| \in (90^ \circ , 180^ \circ ))\) długości boków spełniają warunki: \(|BC| = |AC| + 2\), \(|AB| = |AC| + 4\) oraz \(|AC| > 2\). Ustal, do jakiego przedziału liczbowego należy dlugość boku \(AC\).
-
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
1
\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120\\
109=x^2+(x+2)^2-x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4-x^2-2x\\
109=x^2+2x+4=(x+2)^2\\
x+2= \sqrt{109} \\
x= \sqrt{109}-2\\
Obw=2(x+x+2)=2(2x+2)=4x+4=4(x+1)=4(\sqrt{109}-2+1)=4(\sqrt{109}-1)\)
\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120\\
109=x^2+(x+2)^2-x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4-x^2-2x\\
109=x^2+2x+4=(x+2)^2\\
x+2= \sqrt{109} \\
x= \sqrt{109}-2\\
Obw=2(x+x+2)=2(2x+2)=4x+4=4(x+1)=4(\sqrt{109}-2+1)=4(\sqrt{109}-1)\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
\(|AC|=b\\Patrycja_59 pisze:
2) W trójkącie rozwartokątnym \(ABC\) \((| \angle ACB| \in (90^ \circ , 180^ \circ ))\) długości boków spełniają warunki: \(|BC| = |AC| + 2\), \(|AB| = |AC| + 4\) oraz \(|AC| > 2\). Ustal, do jakiego przedziału liczbowego należy dlugość boku \(AC\).
|BC|=b+2\\
|AB|=b+4\\
|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2-2|BC||AC|\cos \alpha\\
b^2+8b+16=b^2+4b+4+b^2-2b(b+2)\cos\alpha\\
2b(b+2)\cos\alpha=b^2-4b-12\\
\cos\alpha=\frac{(b-6)(b+2)}{2b(b+2)}\\
\cos\alpha=\frac{b-6}{2b}\)
\(\alpha\) jest rozwarty, więc \(\cos\alpha<0\),
\(\frac{b-6}{2b}<0\\
b-6<0\\
b<6\)
\(2<|AC|<6\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Rozkręcam się
- Posty: 71
- Rejestracja: 28 kwie 2013, 13:34
- Podziękowania: 215 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
Dziękuję za włożony trud, ale w wyniki różnią się od tych w podanych odpowiedziach, a mianowicie:
zad. 1: \(7 cm, 5 cm\), obwód \(24 cm\)
zad. 2: \(|AC| \in (2,6)\)
Moglibyście jeszcze raz zerknąć na te zadania? Z góry dziękuję
zad. 1: \(7 cm, 5 cm\), obwód \(24 cm\)
zad. 2: \(|AC| \in (2,6)\)
Moglibyście jeszcze raz zerknąć na te zadania? Z góry dziękuję
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
no tak, przecież w zadaniu jest, że \(|AC|>2\), czyli faktycznie
\(2<|AC|<6\)
\(2<|AC|<6\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Rozkręcam się
- Posty: 71
- Rejestracja: 28 kwie 2013, 13:34
- Podziękowania: 215 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
Eresh, a miałabyś pomysł jak "naprawić" zad. 2? Będę wdzięczna.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
miałabym
\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120^{\circ}\\
109=x^2+(x+2)^2+x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4+x^2+2x\\
109=3x^2+6x+4\\
3x^2+6x-105=0\\
x=5\\
\mbox{Obw}=2(x+x+2)=\\
\mbox{Obw}=2(10+2)=24\)
\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120^{\circ}\\
109=x^2+(x+2)^2+x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4+x^2+2x\\
109=3x^2+6x+4\\
3x^2+6x-105=0\\
x=5\\
\mbox{Obw}=2(x+x+2)=\\
\mbox{Obw}=2(10+2)=24\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Rozkręcam się
- Posty: 71
- Rejestracja: 28 kwie 2013, 13:34
- Podziękowania: 215 razy
- Płeć:
Najmocniej przepraszam, że odkopuję, ale przed chwilką robiłam zadanko nr.2 (trójkąt) i wyszedł mi błędny wynik, mam więc pytanko: dlaczego w założeniach nie przyjmujemy, że cos>-1 ? Przecież \cos180=-1? Po uwzglednieniu tego warunku wychodzi, że |AC|<2+ \sqrt{15}.
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś mógł wytłumaczyć pominięcie tego warunku (w odpowiedziach wynik jest zgodny z wynikiem Pana @eresh)
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś mógł wytłumaczyć pominięcie tego warunku (w odpowiedziach wynik jest zgodny z wynikiem Pana @eresh)
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(cos180^o=-1\)
To prawda,ale cosinus jest funkcją okresową i co 360 stopni się powtarzają jego wartości.
\(cos0^o=1\\cos60^o= \frac{1}{2}\\cos90^o=0\\cos120^o=- \frac{1}{2}\\cos180^o=-1\\cos240^o=- \frac{1}{2}\\cos 270^o=0\\cos320^o= \frac{1}{2}\\cos360^o=1\)
i dalej wszystko się powtarza...
Jak widać zbiór wartości funkcji cos jest przedziałem <-1;1>
Jeśli mówimy o funkcji cosinus,to podajemy znak wartości,bo dla kątów od 90 stopni do 270 stopni są
one ujemne,a dla kątów ostrych i od 270 do 360 stopni są dodatnie.
Wartości się powtarzają.
To prawda,ale cosinus jest funkcją okresową i co 360 stopni się powtarzają jego wartości.
\(cos0^o=1\\cos60^o= \frac{1}{2}\\cos90^o=0\\cos120^o=- \frac{1}{2}\\cos180^o=-1\\cos240^o=- \frac{1}{2}\\cos 270^o=0\\cos320^o= \frac{1}{2}\\cos360^o=1\)
i dalej wszystko się powtarza...
Jak widać zbiór wartości funkcji cos jest przedziałem <-1;1>
Jeśli mówimy o funkcji cosinus,to podajemy znak wartości,bo dla kątów od 90 stopni do 270 stopni są
one ujemne,a dla kątów ostrych i od 270 do 360 stopni są dodatnie.
Wartości się powtarzają.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: Zad. prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
Czyli dobrze rozumiem, że w zadaniach w których będziemy podstawiać jakieś wyrażenie za \cos sprawdzamy zawsze tylko znak? Tzn albo mniejsze albo wieksze od 0?