prawdopodobieństwo

[ewapaula]

Dana jest funkcja f(x)=
0, dla x ≤ 1,
b/x^3, dla x >1
a) Ustal wartość stałej b tak, aby funkcja ta była PDF zmiennej losowej X
Gęstością prawd. (krótko gęstością, ang. probability density function - PDF) zmienna losowa typu ciągłego, nazywamy funkcję f(x) która występuje pod znakiem całki określającej jej dystrybuantę
b) Naszkicuj krzywą gęstości.
c) Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę.
d) Oblicz prawd. zdarzenia X>3/2
e) Wyznacz kwantyle rzędu 0,1 i 0,9.

[denatlu]

a) \(f(x) \ge 0\) dlatego \(b>0\) bo całka z tej funkcji ma być równa jeden: \(\int _{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx=1\). Pewnie taki zapis kiedyś widziałaś. To jest ogólnie sens gęstości.

to teraz mamy:
\(\int _{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx=\int _{- \infty}^1 0dx+\int _0^{+\infty} \frac{b}{x^3}=0+b\int_0 ^{+\infty}x^{-3}dx=-3b\cdot x^{-4} |_0^{+\infty}=0-(-3b)=3b\)

\(3b=1 \So b=\frac{1}{3}\)

[denatlu]

b) skoro mamy już wyliczone nasze \(b\) to wstaw je do funkcji \(f(x)\) która wyraża naszą gęstość.
c) gęstość jest pochodną dystrybuanty. W takim razie dystrybuanta jest całką z gęstości. W takim razie musimy teraz policzyć \(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du\) dla \(x \le 1\) oraz \(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du\) dla \(x \in (1; +\infty)\)

[ewapaula]

b) skoro mamy już wyliczone nasze \(b\) to wstaw je do funkcji \(f(x)\) która wyraża naszą gęstość.
c) gęstość jest pochodną dystrybuanty. W takim razie dystrybuanta jest całką z gęstości. W takim razie musimy teraz policzyć \(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du\) dla \(x \le 1\) oraz \(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du\) dla \(x \in (1; +\infty)\)

czy mogę prosić o wyjąsnienie pkt d i e? bo niestety nie rozumiem:(

[eresh]

Dana jest funkcja f(x)=
0, dla x ≤ 1,
b/x^3, dla x >1

d) Oblicz prawd. zdarzenia X>3/2

\(P(X>\frac{3}{2})=1-P(X\leq \frac{3}{2})=1-\int_{-\infty}^{\frac{3}{2}}f(x)dx=1-\int_1^{\frac{3}{2}}\frac{1}{3x^3}dx=1-\frac{5}{54}=\frac{49}{54}\)

[denatlu]

c) liczymy dystrybuantę. z definicji dystrybuanta jest to taka funkcja \(F\) określająca dla każdej wartości \(x\) pstwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartość mniejszą lub równą \(x\), co zapisuje się: \(F(x)=P(X \le x)\).
A w praktyce będzie to wyglądało tak, że najpierw tę dystrybuantę obliczamy.
dla \(x \le 1\)
\(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du=\int _{-\infty}^1 0 du=0\)



dla \(x \in (1; +\infty)\)
\(F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du=\int _{-\infty}^1 0 du+\int _{1}^x \frac{1}{3u^3} du=0+\frac{1}{3} \int_1^x u^{-3}du=\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2u^2})|^x_1=\frac{-1}{6x^2}+\frac{1}{6}\)

czyli mamy ogólnie dystrybuantę:

\(F(x)= \begin{cases} 0, x \le 1 \\ \frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2}, x>1 \end{cases}\)

[denatlu]

d) teraz korzystam z definicji podanej wyżej
\(P(X>\frac{3}{2})=1-P(X \le \frac{3}{2})=1-(F(\frac{3}{2})-F(-\infty))=1-F(\frac{3}{2})+F(-\infty)=\\
=1-(\frac{1}{6}-\frac{1}{6\cdot(\frac{2}{3})^2})=1-\frac{1}{6}+\frac{1}{27}=\frac{47}{54}\)

\(F(-\infty)=0\)
Tak jak pewnie widzisz tutaj korzystam z obliczonej wcześniej dystrybuanty.

[ewapaula]

czy ktoś jest w stanie wyliczyć pkt E?