wielomian1

[mela1015]

Dla jakich wartości parametru k równanie \((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\) ma dwa różne rozwiązania?

[denatlu]

Po pierwsze \(k\neq 0\) a po drugie \(\Delta=0 \iff k^2+2k+1-4k=(k-1)^2=0\) co ostatecznie daje odpowiedź
dla \(k=1\)

[tylkojedynka]

to jednak jest bardziej rozbudowane zadanie.
1. Gdy\(\quad k=0\quad\) równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=2\quad \vee \quad x=-1\)

2. Gdy \(\quad k \neq 0\quad\) równanie jest równaniem stopnia trzeciego, którego jednym z rozwiązań jest liczba \(\quad x=2\quad\)

[tylkojedynka]

\((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\)

\(x-2=0\quad \vee \quad kx^2+(k+1)x+1=0\)

wyznaczmy \(k\) , dla których liczba \(\quad 2\quad\)jest rozwiązaniem równania kwadratowego:\(4k+2k+2+1=0\quad \iff \quad k=- \frac{1}{2}\)

Dla \(\quad k=- \frac{1}{2} \quad\)otrzymujemy równanie: \(\quad -\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x+1=0\)

\(x^2-x-2=0\quad \iff\)\(\quad (x-2)(x+1)=0\quad \iff \quad x=-2\quad \vee \quad x=-1\)

[tylkojedynka]

Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)

[mela1015]

Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)

skąd właśnie te liczby?

[eresh]

Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)

skąd właśnie te liczby?

Po pierwsze \(k\neq 0\) a po drugie \(\Delta=0 \iff k^2+2k+1-4k=(k-1)^2=0\) co ostatecznie daje odpowiedź
dla \(k=1\)

to jednak jest bardziej rozbudowane zadanie.
1. Gdy\(\quad k=0\quad\) równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=2\quad \vee \quad x=-1\)

\((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\)

\(x-2=0\quad \vee \quad kx^2+(k+1)x+1=0\)

wyznaczmy \(k\) , dla których liczba \(\quad 2\quad\)jest rozwiązaniem równania kwadratowego:\(4k+2k+2+1=0\quad \iff \quad k=- \frac{1}{2}\)

Dla \(\quad k=- \frac{1}{2} \quad\)otrzymujemy równanie: \(\quad -\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x+1=0\)

\(x^2-x-2=0\quad \iff\)\(\quad (x-2)(x+1)=0\quad \iff \quad x=-2\quad \vee \quad x=-1\)

[mela1015]

skąd to 0 i 1 bo nie rozumiem

[Galen]

Rozważasz dwa przypadki:
1)
\(x-2=0\;\;czyli\;\;x=2\;\;\;\;i\;równanie\;\;\;kx^2+(k+1)x+1=0\;\;ma\;jeden \;pierwiastek\;x\neq 2\)
\(\Delta=0\;\;\;\;lub\;\;\;w \;nawiasie\;jest\;równanie\;liniowe\;(k=0)\\(k+1)^2-4k=0\;\;\;lub\;\;0x^2+x+1=0\\k^2-2k+1=0\;\;\;lub\;\;k=0\\(k-1)^2=0\\k=1\;\;\;lub\;\;\;k=0\)
Oblicz x dla k=1 i pamiętaj,że może to być liczba różna od x=2 (bo mają być dwa pierwiastki równania).
\(x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x=-1\)
Dla k=1 równanie ma dwa rozwiązania x=2 oraz x=-1.
Dla k=0 też ma dwa pierwiastki x=2 oraz x=-1
2)
Równanie ma dwa różne rozwiązania,ale jedno już jest x=2,to z czynnika kwadratowego mogą być dwa pierwiastki z tym,że jeden z nich musi być równy 2.
W tym przypadku wychodzi k=-1/2.