pochodna - iloczyn więcej niż dwóch czynników

[Wolfer]

\(a^{2x}x^{n-1}(2x \ln {a+n})\)

Mam problem jak podejść do tego równania. Jest to iloczyn złożony, więc nie można zastosować od tak wzoru na pochodną iloczynu.

Próbowałem w ten sposób:

\(x = a^{2x}x^{n-1}\)
\(y = (2x \ln {a+n})\)

i liczyć z tymi podstawieniami pochodną iloczynu czyli
\((xy)' = x'y + xy'\)

Wynik jaki mi wyszedł jest dość długi i wieloskładnikowy:

\(4a^{4x}x^{n}\ln{a}\ln{(a+n)} + 2na^{2x}x^{n-1}\ln{(a+n)} - 2x^{n-1}\ln{(a+n)} + 2a^{2x}x^{n-1}ln{(a+n)}\)

Podczas gdy wynik prawidłowy to:

\(2a^{2x}x^{n}ln{(a+n)}\)

[panb]

Coś tu jest skopane. Skąd ten \(\ln(a+n)\), jeśli \(y=(2x\ln a+n)\)?!

[Wolfer]

\(2a^{2x}x^{n}ln{(a+n)}\) to jak dal mnie jest to samo co \(a^{2x}x^{n-1}(2xln{(a+n)})\)

Po wymnożeniu dalszym, 2 wędruje na sam początek, a \(x^{n-1}*x = x^n\)

[Wolfer]

Żeby nie zaśmiecać tematami dodam przykład którego także nie wiem jak się z początku do niego zabrać

\(sinh{x}^{arcsin{\sqrt{x}}}\)

Nie wiem jak traktować wykładnik, a jak podstawę. Myślałem, że z początku całość jak \((x^n)'\)

Wolfram mówi, że wynik to:

\(sinh^{arcsin^{-1}{\sqrt{x}}}(x)\)

[panb]

W przypadku gdy w wykładniku i podstawie są funkcje zmiennej x stosuje się trick/wzór:
\(\left[f(x)^{g(x)} \right]'= \left[ e^{\ln f(x)^{g(x)}}\right]'= \left[e^{g(x)\ln f(x)} \right]'=e^{g(x)\ln f(x)}\cdot \left[g(x)\ln f(x) \right]'=f(x)^{g(x)}\cdot \left(g'(x)\ln f(x)+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)} \right)\)

Jeśli chodzi o poprzednie zadanie, to napisałeś \(\ln a+n\), a to NIE JEST to samo co \(\ln(a+n)\)

[Wolfer]

Oczywiście ma być tak jak mówisz \(\ln{(a + n)}\)