2 zadanka z Kiełbasy

[kaskada]

1. Wykaz, ze jezeli cztery różne pierwiastki równania \(x ^ 4 + px^ 2 + q = 0\) tworzą ciąg arytmetyczny, to \(9p ^ 2 = 100q\).


2. Doprowadź do prostszej postaci \(\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} }\). Obliczenia mile widziane

[eresh]

2. Doprowadź do prostszej postaci \(\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} }\). Obliczenia mile widziane

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1}=\sqrt{1+(\sqrt{3})^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1}=\\=\sqrt{1-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\)

[eresh]

1. Wykaz, ze jezeli cztery różne pierwiastki równania \(x ^ 4 + px^ 2 + q = 0\) tworzą ciąg arytmetyczny, to \(9p ^ 2 = 100q\).

pierwiastki równania:
\(-b, -a, a, b\\
-a+b=a-(-a)\\
-a+b=2a\\
b=3a\)

\((x+b)(x+a)(x-a)(x-b)=x^4+px^2+q\\
(x^2-b^2)(x^2-a^2)=x^4+px^2+q\\
x^4-a^2x^2-b^2x^2+a^2b^2=x^4+px^2+q\\
-a^2-b^2=p\;\;\So\;\;-a^2-(3a)^2=p\;\;\;\So\;\;-10a^2=p\;\;\;So\;\;\;a^2=\frac{p}{-10}\\
a^2b^2=q\;\;\So\;\;a^2\cdot 9a^2=q\\
9a^4=q\\
9(\frac{p}{-10})^2=q\\
9p^2=100q\)

[kaskada]

Dlaczego pierwiastkami równania są \(-b, -a, a, b\) ?

[eresh]

funkcja \(f(x)=x^4+px^2+q\) jest parzysta, więc jeśli a i b są pierwiastkami to pierwiastkami są również \(-b, -a\)

[kaskada]

Dziękuję