pierwiastki różnych znaków

[yoana91]

wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie \(\frac{x ^{2}-(2m-3)x+m ^{2}-3m }{x+2} =0\) ma dwa pierwiastki różnych znaków.

warunki to
\(a \neq 0\) \(\rightarrow\) spełnione
\(\Delta > 0\) \(\rightarrow\) \(m \in (- \infty ;m-3) \cup (m;+ \infty )\)
\(x _{1}x _{2}<0\) \(\rightarrow\) \(m \in (0;3)\)
\(f(-2) \neq 0\) \(\rightarrow\) \(m \neq -2 \wedge m \neq 1\)

mam pytanie, co do warunku z deltą, w której wyszło rozwiązanie z parametrem, jak teraz wyznaczyć część wspólną zbiorów?

[Szimi10]

Dziwne, bo mi wyszła delta równa stałej (dokładnie \(\Delta = 9\)). Ale jeśli faktycznie wychodzi zmienna w delcie to musisz rozwiązać po prsotu nową funkcję \(f(m)\). Bo wychdozi Ci przepis na delte, wiesz ze ma być ona większa od zera, zatem liczysz dla jakich \(m\) spełni ten warunek. Liczysz innymisłowy delte od delty i patrzysz kiedy jest większa od zera (w tym przypadku). Mi jednak raz jeszcze zaznaczę wychodzi delta równa 9, zatem ten warunek jest spełniany przez wszystkie \(m \in R\). Co jeszcze miałem dodać, nie wiem czemu masz założenie ze \(f(-2) \neq 0\) ?? Nie mamy nawet możliwości policzenia wartości funkcji w \(-2\) ponieważ \(-2\) nie należy do dziedziny. To powinno znaleźć się w dziedzinie funkcji, czyli \(D=R \setminus \left\{-2 \right\}\), bo nawet jak podstawisz \(m=1\) to podana funkcja będzie spełniać warunki zadania (\(m\) nie ma wpływu na nasz mianownik)
Według mnie rozwiązaniem jest część wspólna założeń:
\(\{\Delta > 0 \Rightarrow m \in R\\x_1 \cdot x_2 <0 \Rightarrow m \in (0,3)\)
Zatem ostatecznie \(m\in (0, 3)\)

Podajmy przykład innego zadania gdzie faktycznie delta wychdozi z parametrem:
\(x^2+mx-\frac{1}{4}m+\frac{1}{2}\). Podane równanie ma mieć dwa różne pierwiastki.
Zatem liczymy tak:
\(\Delta = m^2+m-2 > 0\)
Ma być ona większa od \(0\), podobnie jak u nas. To liczysz ją jak fukcje ze zmienną \(m\), czyli:
\(m^2+m-2 >0
\Delta = 1+8=9
\sqrt \Delta = 3
m_1=-2
m_2=1\)
Czyli warunkiem aby delta byla większa od \(0\), byłoby \(m \in (-\infty,-2) \cup (1, +\infty)\).

Pozdrawiam
Szymon.

[domino21]

wg mnie będzie jeszcze inaczej

\(\frac{x^2-(2m-3)x+m^2-3m}{x+2}=0 \\
D=R-\{-2\}\)

kiedy dwa pierwiastki?
\(\Delta=(2m-3)^2-4(m^2-3m)=4m^2-12m+9-4m^2+12m=9 \\
\sqrt{\Delta}=3\)
zawsze.
jakie?
\(x_1=\frac{2m-3-3}{2}=m-3 \\
x_2=\frac{2m-3+3}{2}=m\)

dwa pierwiastki różnych znaków:
\(x_1\cdot x_2<0 \\
m(m-3)<0 \\
m\in(0;3)\)

Szimi, z tym się z Tobą zgadzam, ale teraz należy wykluczyć te eM-y, dla których wyliczone pierwiastki są równe 2

\(\begin{cases} m-3\neq 2 \\ m\neq 2 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} m\neq 1 \\ m\neq -2 \end{cases}\)

czyli liczbę m=1 trzeba wyrzucić z naszego przedziału, więc ostatecznie:

\(m\in (0;1)\cup (1;3)\)

[Szimi10]

Szimi, z tym się z Tobą zgadzam, ale teraz należy wykluczyć te eM-y, dla których wyliczone pierwiastki są równe 2

\(\begin{cases} m-3\neq 2 \\ m\neq 2 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} m\neq 1 \\ m\neq -2 \end{cases}\)

czyli liczbę m=1 trzeba wyrzucić z naszego przedziału, więc ostatecznie:

\(m\in (0;1)\cup (1;3)\)

Tak, oczywiście masz racje, przeoczyłem to, że później ten pierwiastek wypada na rzecz dziedziny.
Popraw tylko to, że mają być różne od -2 . Dziękuje za zwróconą uwagę.
Pozdrawiam.

P.S. Visca el Barca!

[BetrR65]

wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie \(\frac{x ^{2}-(2m-3)x+m ^{2}-3m }{x+2} =0\) ma dwa pierwiastki różnych znaków.

warunki to
\(a \neq 0\) \(\rightarrow\) spełnione
\(\Delta > 0\) \(\rightarrow\) \(m \in (- \infty ;m-3) \cup (m;+ \infty )\)
\(x _{1}x _{2}<0\) \(\rightarrow\) \(m \in (0;3)\)
\(f(-2) \neq 0\) \(\rightarrow\) \(m \neq -2 \wedge m \neq 1\)

Ostatni warunek jest zbedny, a ponadto zawiera informację sprzeczną z dziedziną (do wyznaczenia na samym poczatku x<>-2), bo nie można liczyć wartości funkcji od tego, co jest wykluczone w dziedzinie.
Sprawdzenie poprawności rozwiązania (m.in. drugi warunek) może być takie, że wynik (oszacowanie parametru m) nie może zależeć od tego samego parametru. Jeśli tak wychodzi trzeba jeszcze raz sprawdzić założenia i obliczenia.