Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
\(\frac{x ^{2} -7x+13} {mx ^{2} +2(m+1)x+9m+4} <0\)
jest prawdziwa dla każdego \(x \in R\)
nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Szimi10
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
\(\frac{x^2-7x+13}{mx^2+2(m+1)x+9m+4}<0\) ma być prawdziwe dla \(x \in R\)
Przyglądamy się licznikowi i zauważamy, że jest on zawsze dodatni, bo jego \(\Delta\) jest mniejsza od 0, a współczynnik kierunkowy jest dodatni, zatem ma jednocześnie ramiona zwrucone do góry oraz nie przecina osi. Jedyny wniosek, zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Ale dla niedowiarków policzymy:
\(x^2-7x+13=0\\
\Delta = 49-4\cdot 13 = 49-52=-3\)
Zatem aby całość była mniejsza od zera, wystarczy aby mianownik był zawsze mniejszy od zera (skoro licznik jest zawsze dodatni). Aby mieć taką pewność, musimy wiedzieć, że parabola (ta z mianownika) nie przecina osi (czyli \(\Delta<0\)). Dodatkowo współczynnik kierunkowy naszej paraboli musi być ujemny (zeby zawsze była pod osią) czyli od razu możemy zrobić założenie, że \(m<0\).
Zatem do dzieła, liczymy deltę:
\(mx^2+2(m+1)x+9m+4=0
\Delta=4(m+1)^2-4m(9m+4)<0
4m^2+8m+4-36m^2-16m<0
-32m^2-8m+4<0 / / \:4
-8m^2-2m+1<0\)
Liczymy dla jakich \(m\) dleta jest mniejsza od 0
\(\sqrt \Delta =\sqrt{4+32}=6\\m_1=\frac{2-6}{-16}=\frac{1}{4}\\m_2=\frac{2+6}{-16}=-\frac{1}{2}\)
Ponieważ parabola (ta od delty z m) ma ramiona skierowane w dól, dlatego wartości ujemne będą dla:
\(m \in (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{4},+\infty)\).
Pamiętamy o naszym założeniu, że \(m<0\) dlatego ostatecznie: \(m \in (-\infty,-\frac{1}{2})\).
Pozdrawiam
Szymon.
Przyglądamy się licznikowi i zauważamy, że jest on zawsze dodatni, bo jego \(\Delta\) jest mniejsza od 0, a współczynnik kierunkowy jest dodatni, zatem ma jednocześnie ramiona zwrucone do góry oraz nie przecina osi. Jedyny wniosek, zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Ale dla niedowiarków policzymy:
\(x^2-7x+13=0\\
\Delta = 49-4\cdot 13 = 49-52=-3\)
Zatem aby całość była mniejsza od zera, wystarczy aby mianownik był zawsze mniejszy od zera (skoro licznik jest zawsze dodatni). Aby mieć taką pewność, musimy wiedzieć, że parabola (ta z mianownika) nie przecina osi (czyli \(\Delta<0\)). Dodatkowo współczynnik kierunkowy naszej paraboli musi być ujemny (zeby zawsze była pod osią) czyli od razu możemy zrobić założenie, że \(m<0\).
Zatem do dzieła, liczymy deltę:
\(mx^2+2(m+1)x+9m+4=0
\Delta=4(m+1)^2-4m(9m+4)<0
4m^2+8m+4-36m^2-16m<0
-32m^2-8m+4<0 / / \:4
-8m^2-2m+1<0\)
Liczymy dla jakich \(m\) dleta jest mniejsza od 0
\(\sqrt \Delta =\sqrt{4+32}=6\\m_1=\frac{2-6}{-16}=\frac{1}{4}\\m_2=\frac{2+6}{-16}=-\frac{1}{2}\)
Ponieważ parabola (ta od delty z m) ma ramiona skierowane w dól, dlatego wartości ujemne będą dla:
\(m \in (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{4},+\infty)\).
Pamiętamy o naszym założeniu, że \(m<0\) dlatego ostatecznie: \(m \in (-\infty,-\frac{1}{2})\).
Pozdrawiam
Szymon.