Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?
całka funkcja trygonometryczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
tę całkę rozwiązuje się za pomocą podstawienia \(t=\tg \frac{x}{2}\) lub za pomocą analizy zespolonej podstawiając
\(\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \;\;\ \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\) i całkować po częściach rzeczywistych
\(\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \;\;\ \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\) i całkować po częściach rzeczywistych
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: całka funkcja trygonometryczna
\(t=\tg\frac{x}{2}\\tajedyna pisze:Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?
dx=\frac{2dt}{t^2+1}\\
\sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\
\cos x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\)
\(\int\frac{1+\frac{2t}{t^2+1}}{1+\frac{1-t^2}{t^2+1}}\cdot\frac{2}{t^2+1}dt=\\
=\int\left(\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{t^2+1+1-t^2}\cdot\frac{2}{t^2+1}\right)dt=\\
=\int\frac{2(t+1)^2}{2(t^2+1)}dt=\int\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}=\int dt+\int\frac{2t}{t^2+1}=t+\ln|t^2+1|+C=\\
=\tg\frac{x}{2}+\ln\left(\tg^2\frac{x}{2}+1\right)+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę