Witam,
\(x^2\equiv 1 (mod 784)\)
Może ktoś pomóc ?
Rozwiązać kongruencje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Rozwiązać kongruencje
\(784=2^4 \cdot 7^2\)
kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(784\)\()\)\(\\) jest równoważna układowi kongruencji \(\begin{cases} x^2 \equiv 1 mod(2^4)\\ x^2 \equiv 1 mod(7^2) \end{cases}\)
Kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(7^2\)\()\)
jest równoważna podzielności \(7^2 |x^2-1=(x-1)(x+1)\) stąd \(\\) \(7^2|x-1\)\(\vee 7^2|x+1\)
Stąd \(x=7^2k+1\)\(\\)\(\vee\)\(x=7^2k+48\)
Kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(2^4\)\()\)
Ona ma cztery rozwiązania \(x=2^4l+1\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+7\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+9\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+15\)\(\\)
Rozwiązania wyjściowej kongruencji to
\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+1 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+7 )\) \(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+9 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+15 )\)
\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+1 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+7 )\) \(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+9 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+15 )\)
Zapewne można to sprytnie pozbierać.
kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(784\)\()\)\(\\) jest równoważna układowi kongruencji \(\begin{cases} x^2 \equiv 1 mod(2^4)\\ x^2 \equiv 1 mod(7^2) \end{cases}\)
Kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(7^2\)\()\)
jest równoważna podzielności \(7^2 |x^2-1=(x-1)(x+1)\) stąd \(\\) \(7^2|x-1\)\(\vee 7^2|x+1\)
Stąd \(x=7^2k+1\)\(\\)\(\vee\)\(x=7^2k+48\)
Kongruencja \(\\) \(x^2 \equiv 1\) \(\\) \(mod\)\((\)\(\\)\(2^4\)\()\)
Ona ma cztery rozwiązania \(x=2^4l+1\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+7\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+9\)\(\\)\(\vee\) \(x=2^4l+15\)\(\\)
Rozwiązania wyjściowej kongruencji to
\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+1 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+7 )\) \(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+9 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+1) \cdot ( 2^4l+15 )\)
\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+1 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+7 )\) \(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+9 )\)\(\\)\(\vee\)\(x=(7^2k+48) \cdot ( 2^4l+15 )\)
Zapewne można to sprytnie pozbierać.