liczby zespolone

[Doniczus]

rozwiaz rownanie
\(z^2=2i\)
\(z^2=1+4 \sqrt{5}i\)
\(z^2-5z+7-i=0\)

[irena]

1.
\(z^2=2i\\z=a+bi\\(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi\\\{a^2-b^2=0\\2ab=2\)

\(ab=1\\b=\frac{1}{a}\\a^2-\frac{1}{a^2}=0\ /\cdot a^2\\a^4-1=0\\a^4=1\\a=1\ \vee\ a=-1\\b=1\ \vee\ b=-1\\z_1=1+i\ \vee\ z_2=-1-i\)

[irena]

2.
\(z^2=1+4\sqrt{5}i\\\{a^2-b^2=1\\2ab=4\sqrt{5}\)

\(b=\frac{2\sqrt{5}}{a}\\a^2-\frac{20}{a^2}=1\\a^4-a^2-20=0\\\Delta=1+80=81\\a^2=\frac{1-9}{2}=-8\ \vee\ a^2=\frac{1+9}{2}=5\\a=\sqrt{5}\ \vee\ a=-\sqrt{5}\\b=2\ \vee\ b=-2\)

\(z_1=\sqrt{5}+2i\ \vee\ z_2=-\sqrt{5}-2i\)

[irena]

3.
\(z^2-5z+7-i=0\\\Delta=25-28+4i=-3+4i\\\sqrt{\Delta}=a+bi\\\Delta=a^2-b^2+2abi\\\{a^2-b^2=-3\\2ab=4\)

\(b=\frac{2}{a}\\a^2-\frac{4}{a^2}=-3\\a^4+3a^2-4=0\\(a^2+4)(a^2-1)=0\\a^2=-4\ \vee\ a^2=1\\a=1\ \vee\ a=-1\\b=2\ \vee\ b=-2\\\sqrt{\Delta}=1+2i\ \vee\ \sqrt{\Delta}=-1-2i\)

\(z_1=\frac{5-1-2i}{2}=2-i\ \vee\ z_2=\frac{5+1+2i}{2}=3+i\)