podprzestrzeń wektorowa

[forgottenhopes]

Niech \(V=\left\{ w(x) \in R\left[ x\right] \right\}: (x ^{2}+1)w(1) +xw''(1)=0\).
Udowodnić, że \(V\) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni wielomianów dowolnego stopnia.

Żeby zbiór był podprzestrzenią wektorową musi zachodzić warunek:
\(\alpha w(x) + \beta p(x) \in V\).
Nie potrafię jednak tego zastosować. Prosiłaby o pomoc z tym zadaniem.

[josselyn]

\(w(x) \in R\left[ x\right] : (x ^{2}+1)w(1) +xw''(1)=0\).
\(p(x) \in R\left[ x\right] : (x ^{2}+1)p(1) +xp''(1)=0\)
Skoro mialoby zachodzic
\(z(x)=\alpha w(x) + \beta p(x) \in V\)
to musi byc
\(z(x) \in R\left[ x\right] : (x ^{2}+1)z(1) +xz''(1)=0\)
Czyli
\((x ^{2}+1)z(1) +xz''(1)=(x ^{2}+1)(\alpha w(1) + \beta p(1)) +x(\alpha w''(1) + \beta p''(1))=
(x ^{2}+1)\alpha w(1) + (x ^{2}+1)\beta p(1)+x\alpha w''(1)+ x \beta p''(1)=
(x ^{2}+1)\alpha w(1)+x\alpha w''(1) + (x ^{2}+1)\beta p(1)+ x \beta p''(1)=
\alpha((x ^{2}+1) w(1)+x w''(1) )+\beta( (x ^{2}+1) p(1)+ x p''(1))= \alpha *0+ \beta *0=0
c.b.d.o.\)

[forgottenhopes]

Dziękuję, bardzo mi pomogłaś

[forgottenhopes]

Mam jeszcze pytanie odnośnie podobnego zadania:
Zbadać czy dany zbiór \(V=\left\{ w(x) \in R\left[ x\right]_{3} : w(0) - w'(1)=0 \quad \wedge \quad w''(-x) +xw'''(x)\equiv0 \right\}\)
stanowi podprzestrzeń liniową przestrzeni wektorowej \(U=R\left[ x\right]_{3}\)
W taki przypadku gdy mam 2 warunki to muszę sprawdzać dla każdego osobno tak jak w powyższym przykładzie?
Dobrze rozumiem?

I jeszcze jak wyznaczyć bazę i wymiar tej podprzestrzeni( bo wydaje mi się że nią jest)?

[Crazy Driver]

W taki przypadku gdy mam 2 warunki to muszę sprawdzać dla każdego osobno tak jak w powyższym przykładzie?
Dobrze rozumiem?

Niekoniecznie, bo może być tak, że oba warunki z osobna nie definiują jeszcze podprzestrzeni, ale wzięte razem definiują.

I jeszcze jak wyznaczyć bazę i wymiar tej podprzestrzeni( bo wydaje mi się że nią jest)?

\(w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(w'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(w''(x)=6ax+2b\)

\(w^{(3)}(x)=6a\)


\(w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in V\quad\Leftrightarrow\quad (d-(3a+2b+c)=0\ \wedge\ -6ax+2b+6ax=0)\)

\(\begin{cases} -3a-2b-c+d=0\\b=0\end{cases}\)

Rozwiązanie ogólne tego układu to

\(\begin{cases}a=t\\b=0\\c=-3t+u\\d=u \end{cases}\)

W takim razie

\(V\ni w(x)=tx^3+(-3t+u)x+u=t(x^3-3x)+u(x+1)\), stąd \(V\) jest podprzestrzenią liniową \(\mathbb{R}_3[x]\) i jej bazą jest np. \(\mathcal{A}=\left\{x^3-3x,x+1\right\}\).

Teraz chyba nie powinno być problemu z określeniem wymiaru.

[forgottenhopes]

Niekoniecznie, bo może być tak, że oba warunki z osobna nie definiują jeszcze podprzestrzeni, ale wzięte razem definiują.

Więc jak sprawdzić te warunki równocześnie( chodzi mi o zapis)? bo sprawdzając je osobno, wyniki połączyłam koniunkcją i stwierdziłam że zbiór jest podprzestrzenią. Bardzo proszę o naprowadzenie

[Crazy Driver]

Akurat w tym wypadku każdy warunek z osobna definiuje podprzestrzeń, natomiast biorąc te warunki razem otrzymujemy iloczyn podprzestrzeni, który jest podprzestrzenią. Zatem to, co zrobiłaś, jest ok. Mnie chodziło o to, żeby nie traktować tego, co napisałaś za ogólną zasadę. To znaczy może się zdarzyć, że każdy warunek z osobna nie zadaje jeszcze podprzestrzeni i dopiero oba naraz je zadają.

[forgottenhopes]

Dziękuję za wyjaśnienie