Metoda indukcji - nierówność

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Wykaż metodą indukcji matematycznej , że dla kazdej liczby naturalnej n spełniajacej podany warunek , zachodzi nierówność:

a)
\(3^{n+1}>4n+7\) dla \(n \ge 2\)

b)
\(4^{n-1}>3n^2\) dla \(n \ge 4\)

c)
\(5^{n-1}>2n^2+1\) dla \(n \ge 3\)

d)
\(\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}\) dla \(n \ge 2\)

e)

\(\frac{1}{ 1^2 } + \frac{1}{2^2 }+ \frac{1}{3^2 } +...+ \frac{1}{ n^2 } <2- \frac{1}{n}\) dla \(n \ge 2\)

dziekuję

[radagast]

proszę o pomoc w rozwiązaniu:l+

Wykaż metodą indukcji matematycznej , że dla kazdej liczby naturalnej n spełniajacej podany warunek , zachodzi nierówność:

a)
\(3^{n+1}>4n+7\) dla \(n \ge 2\)

dla n=2: \(3^3>8+7\) ok
Zał ind:
załóżmy że istnieje \(n \in N\) t. że \(3^{n+1}>4n+7\)
Teza:
pokażemy, że wtedy \(3^{n+2}>4(n+1)+7\):
\(L=3^{n+2}=3 \cdot 3^{n+1}>3(4n+7)=12n+21>4n+11=4(n+1)+7=P\)