Granica funkcji i asymptoty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Granica funkcji i asymptoty
Oblicz granice funkcji f(x)=\(\frac{2x^2}{x-1}\) na krańcach dziedziny. Określ asymptoty
-
kamil13151
- Fachowiec
- Posty: 1528
- Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
- Płeć:
Re: Granica funkcji i asymptoty
Granice na krańcach:
\(\lim_{x\to + \infty } \frac{2x^2}{x-1}=\lim_{x\to + \infty } \frac{2x^2}{x(1-\frac1x )}=\lim_{x\to + \infty } 2x=+ \infty \\ \lim_{x\to - \infty } \frac{2x^2}{x-1}=\lim_{x\to - \infty } \frac{2x^2}{x(1-\frac1x )}=\lim_{x\to - \infty } 2x=- \infty\)
\(\lim_{x\to + \infty } \frac{2x^2}{x-1}=\lim_{x\to + \infty } \frac{2x^2}{x(1-\frac1x )}=\lim_{x\to + \infty } 2x=+ \infty \\ \lim_{x\to - \infty } \frac{2x^2}{x-1}=\lim_{x\to - \infty } \frac{2x^2}{x(1-\frac1x )}=\lim_{x\to - \infty } 2x=- \infty\)
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
\(f(x)= \frac{2x^2}{x-1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ D_f=(- \infty ;1) \cup (1;+ \infty )\)
\(\lim_{x\to + \infty }\ f(x)\ =\ \lim_{x\to + \infty } \ \frac{2x^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\to + \infty }\ \frac{2x}{1- \frac{1}{x} }\ =\ + \infty\)
\(\lim_{x\to- \infty } \ f(x)\ =\ \lim_{x\to - \infty }\ \frac{2x^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\to - \infty }\ \frac{2x}{1- \frac{1}{x} } \ =\ - \infty\)
\(\begin{cases} \lim_{x\to 1^-}\ f(x)\ =\ \lim_{x\to 1^-} \ \frac{2x^2}{x-1} \ =- \infty \\ \lim_{x\to 1^+} \ f(x)\ =\ \lim_{x\to 1^+} \ \frac{2x^2}{x-1}\ =+ \infty \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \\)prosta o równaniu x=1 jest obustronną asymptotą pionową
\(\begin{cases} \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{2x^2}{x^2-x} \ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2}{1- \frac{1}{x} }\ =2=a\\ \lim_{x\to \pm \infty } [f(x)-ax]\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ ( \frac{2x^2}{x-1} -2x)\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2x}{x-1} \ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2}{1- \frac{1}{x} }\ =2=b \end{cases}\ \ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \ \\)prosta o równaniu y=2x+2 jest obustronną asymptotą ukośną
\(\lim_{x\to + \infty }\ f(x)\ =\ \lim_{x\to + \infty } \ \frac{2x^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\to + \infty }\ \frac{2x}{1- \frac{1}{x} }\ =\ + \infty\)
\(\lim_{x\to- \infty } \ f(x)\ =\ \lim_{x\to - \infty }\ \frac{2x^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\to - \infty }\ \frac{2x}{1- \frac{1}{x} } \ =\ - \infty\)
\(\begin{cases} \lim_{x\to 1^-}\ f(x)\ =\ \lim_{x\to 1^-} \ \frac{2x^2}{x-1} \ =- \infty \\ \lim_{x\to 1^+} \ f(x)\ =\ \lim_{x\to 1^+} \ \frac{2x^2}{x-1}\ =+ \infty \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \\)prosta o równaniu x=1 jest obustronną asymptotą pionową
\(\begin{cases} \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{2x^2}{x^2-x} \ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2}{1- \frac{1}{x} }\ =2=a\\ \lim_{x\to \pm \infty } [f(x)-ax]\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ ( \frac{2x^2}{x-1} -2x)\ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2x}{x-1} \ =\ \lim_{x\to \pm \infty } \ \frac{2}{1- \frac{1}{x} }\ =2=b \end{cases}\ \ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \ \\)prosta o równaniu y=2x+2 jest obustronną asymptotą ukośną