\(\int_{}^{} \sqrt{x^2-6x-7}dx\)
najlepiej 3 podstawieniem, dla mnie tu się jakoś wszystko kręci w kółko i wracam na początek
całka-Podstawienie Eulera
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
bunio244
- Stały bywalec
- Posty: 453
- Rejestracja: 26 gru 2010, 17:50
- Podziękowania: 100 razy
- Otrzymane podziękowania: 79 razy
- Płeć:
całka-Podstawienie Eulera
Należy obliczyć całkę korzystając z podstawienia Eulera w pierwiastku
\(\int_{}^{} \sqrt{x^2-6x-7}dx\)
najlepiej 3 podstawieniem, dla mnie tu się jakoś wszystko kręci w kółko i wracam na początek
\(\int_{}^{} \sqrt{x^2-6x-7}dx\)
najlepiej 3 podstawieniem, dla mnie tu się jakoś wszystko kręci w kółko i wracam na początek
Jeśli wiara czyni cuda, musisz wierzyć, że się uda. A są tylko dwa uda: albo się uda, albo się nie uda. Choć są też dwa inne, o wiele ciekawsze. 
© by bunio244
© by bunio244
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
\(\int \sqrt{x^2-6x-7} \mbox{d}x\)
Podstawiamy \(t=\sqrt{x^2-6x-7} +x\)
\(t-x=\sqrt{x^2-6x-7} \\
t^2-2tx+x^2=x^2-6x-7 \\
t^2+7=2tx-6x \\
x= \frac{t^2+7}{2t-6} \\
\mbox{d}x = \frac{2t}{2t-6}- \frac{2(t^2+7)}{(2t-6)^2}= \frac{t^2-6t-7}{(2t-6)^2} \mbox{d}t\)
Zostaje więc
\(\int \left( t-\frac{t^2+7}{2t-6}\right)\frac{t^2-6t-7}{(2t-6)^2} \mbox{d}t = \int \frac{(t^2-6t-7)^2}{(2t-6)^3} \mbox{d}t\)
Teraz pewnie trzeba będzie podzielić licznik przez mianownik i rozłożyć na ułamki proste, ale to mordęga na jakieś 5 godzin. Albo ja się walnęłam w obliczeniach, albo jakiś sadysta wymyślał ten przykład
Podstawiamy \(t=\sqrt{x^2-6x-7} +x\)
\(t-x=\sqrt{x^2-6x-7} \\
t^2-2tx+x^2=x^2-6x-7 \\
t^2+7=2tx-6x \\
x= \frac{t^2+7}{2t-6} \\
\mbox{d}x = \frac{2t}{2t-6}- \frac{2(t^2+7)}{(2t-6)^2}= \frac{t^2-6t-7}{(2t-6)^2} \mbox{d}t\)
Zostaje więc
\(\int \left( t-\frac{t^2+7}{2t-6}\right)\frac{t^2-6t-7}{(2t-6)^2} \mbox{d}t = \int \frac{(t^2-6t-7)^2}{(2t-6)^3} \mbox{d}t\)
Teraz pewnie trzeba będzie podzielić licznik przez mianownik i rozłożyć na ułamki proste, ale to mordęga na jakieś 5 godzin. Albo ja się walnęłam w obliczeniach, albo jakiś sadysta wymyślał ten przykład
-
bunio244
- Stały bywalec
- Posty: 453
- Rejestracja: 26 gru 2010, 17:50
- Podziękowania: 100 razy
- Otrzymane podziękowania: 79 razy
- Płeć:
walnęłaś się tylko w obliczaniu dx, w licznik dwójka przed trójmianem tylko ;p cała reszta mi się podoba, bo mi wyszło to samo ;p rozwiązałem nawet, podzieliłem licznik przez mianownik i rozbiłem na 2 całki, drugą na ułamki proste, ale niestety wynik inny niż w odpowiedziach ;p przykład z książki Jankowskich, ostatni z całek ;p
Jeśli wiara czyni cuda, musisz wierzyć, że się uda. A są tylko dwa uda: albo się uda, albo się nie uda. Choć są też dwa inne, o wiele ciekawsze.
© by bunio244
© by bunio244
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
Re: całka-Podstawienie Eulera
Przyznam, że mnie ta całka wykończyła
Jak się zastosuje 3 podstawienie Eulera \(\sqrt{x^2-6x-7}=t(x+1)\) to otrzymujemy
\(x= \frac{t^2+7}{1-t^2} \\
\mbox{d}x= \frac{16t}{(1-t^2)^2} \\
\int t \left(\frac{t^2+7}{1-t^2}+1 \right)\frac{16t}{(1-t^2)^2}\mbox{d}t=\int \frac{128t^2}{(1-t^2)^3}\mbox{d}t\)
Po rozłożeniu na ułamki proste wychodzi
\(- \frac{8}{t+1}- \frac{8}{(t+1)^2}+ \frac{16}{(t+1)^3}+ \frac{8}{t-1}- \frac{8}{(t-1)^2}- \frac{16}{(t-1)^3}\)
Czyli całki z tego wychodzą
\(-8\ln|t+1|+\frac{8}{t+1}-\frac{8}{(t+1)^2}+8\ln|t-1|+\frac{8}{t-1}+\frac{8}{(t-1)^2}+C\)
Po uproszczeniu:
\(\frac{16t(t^2+1)}{(t^2-1)^2}+8\ln \frac{t-1}{t+1}\)
Jak się powróci do poprzedniej zmiennej, to wychodzi coś takiego *
\(\frac{x-3}{2}\sqrt{x^2-6x-7}+8\ln\left| \frac{\sqrt{x^2-6x-7}-x-1}{\sqrt{x^2-6x-7}+x+1}\right|\)
czyli wynik trochę inny niż w książce Jankowskich, ale nie wiem gdzie jest błąd, bo wszystko sprawdzałam po kolei w Maximie.
* oczywiście sama tego nie liczyłam
Jak się zastosuje 3 podstawienie Eulera \(\sqrt{x^2-6x-7}=t(x+1)\) to otrzymujemy
\(x= \frac{t^2+7}{1-t^2} \\
\mbox{d}x= \frac{16t}{(1-t^2)^2} \\
\int t \left(\frac{t^2+7}{1-t^2}+1 \right)\frac{16t}{(1-t^2)^2}\mbox{d}t=\int \frac{128t^2}{(1-t^2)^3}\mbox{d}t\)
Po rozłożeniu na ułamki proste wychodzi
\(- \frac{8}{t+1}- \frac{8}{(t+1)^2}+ \frac{16}{(t+1)^3}+ \frac{8}{t-1}- \frac{8}{(t-1)^2}- \frac{16}{(t-1)^3}\)
Czyli całki z tego wychodzą
\(-8\ln|t+1|+\frac{8}{t+1}-\frac{8}{(t+1)^2}+8\ln|t-1|+\frac{8}{t-1}+\frac{8}{(t-1)^2}+C\)
Po uproszczeniu:
\(\frac{16t(t^2+1)}{(t^2-1)^2}+8\ln \frac{t-1}{t+1}\)
Jak się powróci do poprzedniej zmiennej, to wychodzi coś takiego *
\(\frac{x-3}{2}\sqrt{x^2-6x-7}+8\ln\left| \frac{\sqrt{x^2-6x-7}-x-1}{\sqrt{x^2-6x-7}+x+1}\right|\)
czyli wynik trochę inny niż w książce Jankowskich, ale nie wiem gdzie jest błąd, bo wszystko sprawdzałam po kolei w Maximie.
* oczywiście sama tego nie liczyłam