Witam!
Mam pytanie, jak wyjdzie z tą wklęsłością i wypukłością?
\(y = \frac{x}{1+x^2}\)
Właściwie mam problem z \(y^{''}\). W \(y'\) wyszło mi \(\frac{-x^2+1}{(1+x^2)^2}\)
--------------
Punkty przecięcia:
\(y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)
z osią OX
\(0 = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)
\(0 = (x+1)^3\)
I co teraz mam zrobić?
Wklęsłość i wypukłość, punkty przecięcia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Wklęsłość i wypukłość, punkty przecięcia
\(y= \frac{x}{1+x^2}\)
\(y'= \frac{1+x^2-x(2x)}{(1+x^2)^2}= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)
\(y"= \frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x(1+2x^2+x^4)-4x(1-x^4)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x-2x^3-x^5-4x+4x^5}{(1+x^2)^4}=\)
\(=\frac{3x^5-2x^3-5x}{(1+x^2)^4}= \frac{x(3x^4-2x^2-5)}{(1+x^2)^4}\)
\(y''=0 \Rightarrow x(3x^4-2x^2-5)=0\); \(t=x^2\)
\(x=0 \vee 3t^2-2t-5=0 \Rightarrow \Delta =64 \Rightarrow t_1=-1 \vee t_2= \frac{5}{3}\)
\(x_1=0 \vee x_2= \frac{ \sqrt{15} }{3} \vee x_3=- \frac{ \sqrt{15} }{3}\)
z wykresu wielomianu \(3x^5-2x^3-5x\) widać, że w tych punktach następuje zmiana znaku, zatem istnieją punkty przegięcia w \(x_1,x_2,x_3\)
\(y''>0\)dla \(x \in (-\frac{ \sqrt{15} }{3},0) \cup (\frac{ \sqrt{15} }{3},+ \infty )\)
\(y''<0 dla\) dla \(x \in (- \infty ,- \frac{ \sqrt{15} }{3}) \cup (0, \frac{ \sqrt{15} }{3})\)
\(y'= \frac{1+x^2-x(2x)}{(1+x^2)^2}= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)
\(y"= \frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x(1+2x^2+x^4)-4x(1-x^4)}{(1+x^2)^4}= \frac{-x-2x^3-x^5-4x+4x^5}{(1+x^2)^4}=\)
\(=\frac{3x^5-2x^3-5x}{(1+x^2)^4}= \frac{x(3x^4-2x^2-5)}{(1+x^2)^4}\)
\(y''=0 \Rightarrow x(3x^4-2x^2-5)=0\); \(t=x^2\)
\(x=0 \vee 3t^2-2t-5=0 \Rightarrow \Delta =64 \Rightarrow t_1=-1 \vee t_2= \frac{5}{3}\)
\(x_1=0 \vee x_2= \frac{ \sqrt{15} }{3} \vee x_3=- \frac{ \sqrt{15} }{3}\)
z wykresu wielomianu \(3x^5-2x^3-5x\) widać, że w tych punktach następuje zmiana znaku, zatem istnieją punkty przegięcia w \(x_1,x_2,x_3\)
\(y''>0\)dla \(x \in (-\frac{ \sqrt{15} }{3},0) \cup (\frac{ \sqrt{15} }{3},+ \infty )\)
\(y''<0 dla\) dla \(x \in (- \infty ,- \frac{ \sqrt{15} }{3}) \cup (0, \frac{ \sqrt{15} }{3})\)
- Załączniki
-
- w1.png (14.38 KiB) Przejrzano 959 razy
Ostatnio zmieniony 18 sty 2012, 21:02 przez patryk00714, łącznie zmieniany 1 raz.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Punkty przecięcia czy punkty przegięcia ? Chyba raczej to drugie.
\(f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
f''(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=\frac{2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{(1+x^2)^3}\)
\(x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3})\Rightarrow f''(x)<0\) f. wklęsła
\(x\in(-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty)\Rightarrow f''(x)>0\) f. wypukła
\(x\in\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}\Rightarrow f''(x)=0\) punkty przegięcia
\(f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
f''(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}=\frac{2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{(1+x^2)^3}\)
\(x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3})\Rightarrow f''(x)<0\) f. wklęsła
\(x\in(-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty)\Rightarrow f''(x)>0\) f. wypukła
\(x\in\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}\Rightarrow f''(x)=0\) punkty przegięcia
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re:
Dziękuje bardzo, a wolfram mówi co innego, że \((\frac{-x^2+1}{(1+x^2)^2})^'= \frac{2(x-2)}{(x+1)^4}\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29^4%29%27
Nie, chodziło mi o punkty przecięcia z osiami, nie pomyliłam się Ale do \(y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)
z osią \(OX\) i \(OY\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29^4%29%27
Nie, chodziło mi o punkty przecięcia z osiami, nie pomyliłam się Ale do \(y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}\)
z osią \(OX\) i \(OY\)
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć: