indukcja matematyczna - podzielność

[dice]

Jeszcze mam problem z 2 przykładami z indukcij matematycznej... Jeśli ktoś ma chęć i czas pomóc to dziękuje
Korzystając z zasady indukcji udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n :

1. Liczba \(11^{n+2} + 12^{2n+1}\) jest podzielna przez 133
2. Liczba \(n^{3}-n\) jest podzielna przez 6.

[irena]

1.
\(n=1\\11^3+12^3=1331+1728=3059=133\cdot23\)

\(Z.\\11^{k+2}+12^{2k+1}=133p\\T.\\133\ |\ 11^{k+3}+12^{2k+3}\)

\(D.\\11^{k+3}+12^{2k+3}=11^{k+2}\cdot11+12^{2k+1}\cdot144=11\cdot11^{2k+1}+11\cdot12^{2k+1}+133\cdot12^{2k+1}=\\=11\cdot133p+133\cdot12^{2k+1}=133(p+12^{2k+1})\\133\ |\ 11^{2k+3}+12^{2k+3}\)
cbdo.

[KamilWit]

\(n^3 - n = n(n^2 - 1) = n ( n - 1 ) ( n + 1 ) = ( n - 1 ) ( n ) ( n + 1 )\)
trzy kolejne liczby - podzielne przez 2 i 3 dlatego też przez 6.
dla n = 0
będzie 0
dla n = 1
będzie 0..
dla n = 2
będzie 8 - 2 = 6
to nie wiem czy koniecznie dla dowolnej liczby naturalnej ... od <2;+oo) w 2.)

[kamil13151]

@KamilWit: zero jest podzielne przez 6 Także dla każdej liczby naturalnej to zachodzi.

[irena]

2.
\(n=1\\1^3-1=0=0\cdot6\)

\(Z.\\k^2-k=6p\\T.\\6\ |\ (k+1)^3-(k+1)\)

\(D.\\(k+1)^3-(k+1)=(k+1)[(k+1)^2-1]=(k+1)(k^2+2k+1-1)=(k+1)(k^2+2k)=\\=k^3+2k^2+k^2+2k=k^3-k+3k^2+3k=6p+3k^2+3k=6p+3k(k+1)\)

Liczba 3k(k+1) to iloczyn liczby 3 i dwóch sąsiednich liczb całkowitych. Jest więc iloczynem liczby 3 i lizcby parzystej. Dzieli się więc przez 6.

\(6\ |\ (k+1)^3-(k+1)\)
cbdo.

[dice]

@Irena 1 post, punkt D,za drugim = . Trochę nie rozumiem skąd to Wytłumaczysz ?

[irena]

Omyłkowo wpisałam (powtórzyłam) poprzednią liczbę. Sprawdź - jest dobrze, poprawiłam zapis.

[dice]