Pytania na temat granic

[miłosz-92]

Mam takie pytania, które mnie gnębią:

1. Mogą być takie granice, że trzeba użyć wzorów na sumę ciągów arytmetycznego czy geometrycznego. Kiedy mamy wiedzieć, że mamy stosować wzór na sumę c.arytmetycznego, a kiedy wzór na sumę c. geometrycznego? Prosiłbym też o przykłady.

2. Tw. o trzech ciągach, mamy taką granicę: \(\sqrt[n]{3^n+4^n+5}\) i jak mamy się dowiedzieć, które z nich jest większe? Jednak \(\sqrt[n]{4^n}\) jest większe niż 5, ale dlaczego?

3. O co chodzi z tymi logarytmami w granicach? Jest jakiś na to wzór?

4. Kiedy mamy wiedzieć, czy ciąg jest zbieżny, a kiedy jest rozbieżny?

5. Był taki przykład: \(\lim_{n\to \infty } \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+\frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} } = \lim_{n\to \infty } \frac{1 \cdot \frac{1- (\frac{1}{2})^n }{1- \frac{1}{2} } }{1 \cdot \frac{1- (\frac{1}{3})^n }{1- \frac{1}{3} } }\) więc\(( \frac{1}{2})^n\) i \(( \frac{1}{3})^n\) wynoszą 0, ale dlaczego?

Będę ogromnie wdzięczny za udzielenie odpowiedzi.

[Murarz]

Co do piątego:
\((\frac{1}{2})^n=0\\
\\ \frac{1^n}{2^n}=0\)
Liczba jeden podniesiona do jakiejkolwiek potęgi da liczbę 1
Zajmijmy się liczbą \(2^n\)
Zauważ, że jak w miejsce n wstawisz jakąs mega dużą liczbę to wtedy będzie ona coraz bliżej nieskończoności. Zatem wyrażenie \(\frac{1}{2^n}\)będzie coraz bliżej zera.
np.
\(\frac{1}{2^{96}}\) Jak zapewne widzisz, jest to mega mała liczba. Im ta potęga(to n) będzie większe, tym całe wyrażenie będzie jeszcze mniejsze i będzie coraz to bliższe zeru.
Na tym to mniej więcej polega.
4. Ciąg jest zbieżny, kiedy dąży do jakieś liczby. np. \(\lim_{n\to +\infty} \frac{n^2+1}{2n^2+2}= \lim_{n\to +\infty} \frac{(n^2+1)\cdot 1}{(n^2+1)\cdot 2}=\frac{1}{2}\) Przykład ciągu zbieżnego. W przypadku przeciwnym mówimy, że jest rozbieżny. To znaczy, że dązy do nieskończoności.
1. Używasz wzoru na sumę, wtedy, kiedy widzisz sumę ;p
A kiedy arytmetyczny, czy geometryczny, to po prostu poznajesz po przykładzie.
Dam ci najprostsze 2 przykłady.
\(1+2+3+...+50\) bądź \(3+9+27+81+...+243\)
Widziałem w jednym poście fajny przykład sumy ciągu(podpowiem arytmetycznego)
\(2+4+6+...+2n^2-4n\)

[radagast]

2.
\(\sqrt[n]{4^n}<\sqrt[n]{3^n+4^n+5}<\sqrt[n]{3 \cdot 4^n}\)

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{4^n}=4\)

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{3 \cdot 4^n}=4\)

No to
\(\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{3^n+4^n+5}=4\)

[Murarz]

Aach teraz przeczytałem swoje wypociny powtórnie i mogę śmiało stwierdzić, że nie nadaję się na korepetytora

[miłosz-92]

Bardzo dziękuje Murarzu. No to teraz już lepiej rozumiem. W końcu

Radagast nie o to mi chodziło, dalej to wiem jak się rozwiązuje. Chodziło mi o to, skąd należy wiedzieć, że \(\sqrt[n]{4^n}\) jest większe od \(\sqrt[n]{5}\)?

[Murarz]

\(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{4^n}= \lim_{n\to \infty} 4^{\frac{n}{n}}=4^1=4\\
\\ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]5=\lim_{n\to \infty} 5^{\frac{1}{n}}=5^0=1\)

[radagast]

Bardzo dziękuje Murarzu. No to teraz już lepiej rozumiem. W końcu

Radagast nie o to mi chodziło, dalej to wiem jak się rozwiązuje. Chodziło mi o to, skąd należy wiedzieć, że \(\sqrt[n]{4^n}\) jest większe od \(\sqrt[n]{5}\)?

Ja chyba nie rozumiem Twojego pytania , a Ty mojej odpowiedzi