Witam potrzebuję pomocy z tym zadaniem:
\(\Sigma \frac{n^{3n}}{(3n)! + n^3}\)
Z góry dziękuje
zbadac zbieznosc szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: zbadac zbieznosc szeregu
Przypuszczam, że:
\( a_n = \frac{n^{3n}}{(3n)! + n^3} \)
Wtedy:
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{([3(n+1)]! + (n+1)^3} = \frac{(n+1)^3 \cdot (n+1)^{3n}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot (3n)! + (n+1)^3}\)
i korzystając z kryterium d'Alemberta mamy:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = [(1 + \frac{1}{n})^n]^3 \cdot \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot [ \frac{(3n)! + n^3}{(3n)! + \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}}] \to e^3 \cdot \frac{1}{3^3} \cdot 1 = (\frac{e}{3})^3 < (\frac{3}{3})^3 = 1\)
\( a_n = \frac{n^{3n}}{(3n)! + n^3} \)
Wtedy:
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{([3(n+1)]! + (n+1)^3} = \frac{(n+1)^3 \cdot (n+1)^{3n}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot (3n)! + (n+1)^3}\)
i korzystając z kryterium d'Alemberta mamy:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = [(1 + \frac{1}{n})^n]^3 \cdot \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot [ \frac{(3n)! + n^3}{(3n)! + \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}}] \to e^3 \cdot \frac{1}{3^3} \cdot 1 = (\frac{e}{3})^3 < (\frac{3}{3})^3 = 1\)