Obliczyć długość łuku

[enta]

Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)

[Młodociany całkowicz]

Ponieważ \(0 \le x \le \sqrt[4]{20}\),
\(-\sqrt[24]{1620} \le t \le \sqrt[24]{1620}\)
Mamy:
\(\frac{dx}{dt} = 2t^5\\ \frac{dy}{dt} = -t^3\)
A zatem długość będzie równa
\(\int_{-\sqrt[24]{1620}}^{\sqrt[24]{1620}} \sqrt{4t^{10} + t^6}dt\)
Liczymy całkę nieoznaczoną:
\(\int \sqrt{4t^10+t^6}dt = \int t^3\sqrt{4t^4+1}dt = \begin{bmatrix}u = 4t^4 + 1\\dt = \frac{du}{16t^3}\end{bmatrix} = \\ \frac{1}{16}\int\sqrt{u} = \frac{1}{24}\sqrt{(4t^4+1^3)} + C\)
Dalej tylko podstawiamy i otrzymujemy długość łuku.

[enta]

po podstawieniu za wyszło mi 0 czy to możliwe?

[panb]

Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)

Sprawdź, czy to nie powinno być \(0 \le t \le \sqrt[4]{ 20 }\)

[enta]

w poleceniu jest x

[korki_fizyka]

w poleceniu jest x

to jest błąd przecież r-nia są parametryczne, włącz myślenie

[Młodociany całkowicz]

Tak, czy owak nie powinno chyba wychodzić 0. Może to są dwie całki od zera. Zmieszałeś mnie i to nie na żarty.

[korki_fizyka]

no masz rację , to już nie są żarty tylko poważne studia

[Młodociany całkowicz]

Myślę, że powinny być dwie całki od zera, bo dla t ujemnych t wzrastają przeciwnie do x-ów.

[panb]

Jeżeli powinno być (jak należy przypuszczać) \(0 \le t \le \sqrt[4]{20}\), to problem zera znika. Wychodzi ładny wynik i ... świat znowu staje na nogach.

[Młodociany całkowicz]

Słuchajcie, panowie! Myślałem nad tym i wiem, gdzie popełniłem błąd po wyciągnięciu przed pierwiastek t^3 powinno być pod wartością bezwzględną. Ot cały problem.

[enta]

nie bardzo rozumiem to jak teraz będzie ta całka wyglądać?

[enta]

proszę o pomoc

[panb]

No czego tu nie rozumiesz? \[\int \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{ \left(4t^4+1 \right)\sqrt{4t^{10}+t^6} }{24t^3} +C= \frac{(4t^4+1) \sqrt{4t^4+1} }{24}+C\] Wersja 1.

• \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le t \le \sqrt[4]{206}\)
  \(L= \int_{0}^{ \sqrt[4]{20} } \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{91}{3}\)

Wersja 2.

• \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le x \le \sqrt[4]{206} \iff - \sqrt[24]{1620}\le t \le \sqrt[24]{1620}\)
  \(L= \int_{ - \sqrt[24]{1620}}^{ - \sqrt[24]{1620}}\sqrt{4t^{10}+t^6}dt \approx 4,62\)
  Ta liczba jest z wolframu, bo obliczanie tego to kosmos. Ale ZERO nie wychodzi.

[enta]

a skąd się wziął mianownik jeszcze z x? mi wychodzi bez mianownika