całka niewymierna

[Ichigo0]

Jak wyznaczyć całkę z \(\int_{}^{} \frac{x^2}{3 \sqrt[3]{x+2} } \) mi wyszło coś takiego \( \int_{}^{} (t^6+4-4t^3)\) i wracam się z podstawieniem i mam \( \frac{1}{7} ({x+2} )^{1/12}+4* \sqrt[3]{x+2} -(x+2)^{1/12}\)

[Ichigo0]

za t podstawiam całe wyrażenie razem z pierwiastkiem

[kerajs]

\(\int_{}^{} \frac{x^2dx}{3 \sqrt[3]{x+2} }=[x+2=t^3]=\int_{}^{} \frac{(t^3-2)^23t^2dt}{3 t}= \int_{}^{} (t^6+4-4t^3)tdt=\int_{}^{} (t^7+4t-4t^4)dt\)

[Ichigo0]

A możesz rozpisać ostatnie przekształcenie?

[kerajs]

Tam wymnożyłem składniki nawiasu przez ''t'' stojące za nawiasem.

Prawdziwe problemy:
1) gubisz różniczki (dx, dt) co jest błędem rzeczowym.
2) z podstawienia x+2=t^3 wynika różniczka dx=3t^2dt
3) Pomijając błędność całki to masz problemy z podstawieniem powrotnym. Skąd uzyskałaś te dziwne wykładniki?

[Ichigo0]

2) właśnie źle policzyłam różniczkę dzięki

[Ichigo0]

Czy teraz dobrze wróciłam z podstawieniem \(\frac{1}{8} *(x+2)^ \frac{3}{8} *4*(x+2)^ \frac{1}{3} - \frac{4}{5} *(x+2)^ \frac{4}{3} \)

[kerajs]

\(\int_{}^{} (t^7+4t-4t^4)dt= \frac{t^8}{8}+2t^2- \frac{4}{5}t^5+C=[t= \sqrt[3]{x+2} ]=\frac{( \sqrt[3]{x+2} )^8}{8}+2( \sqrt[3]{x+2}) ^2- \frac{4}{5}( \sqrt[3]{x+2} )^5+C \)
Można to jeszcze uprościć.

[Ichigo0]

A taką całkę dobrze policzyłam \( \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{x^2+2x} }dx \) wyszło mi \(ln|x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1}|\)
Czy to jest dobrze?

[kerajs]

A taką całkę dobrze policzyłam \( \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{x^2+2x} }dx \) wyszło mi \(ln|x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1}|\)
Czy to jest dobrze?

A na kolokwium kogo spytasz o poprawność wyniku?
Zawsze sama możesz dokonać sprawdzenia przez zróżniczkowanie wyniku i porównanie uzyskanego wyrażenia z funkcją podcałkową.
Tu (uzupełniwszy o brakującą stałą):
\(( \ln (x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1})+C)'_x= \frac{1}{x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1}} (x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1})'_x= \\ = \frac{1}{x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1}} (1+ \frac{2(x+1)^1}{2\sqrt{(x+1)^2-1}})=
\frac{1}{x+1+ \sqrt{(x+1)^2-1}} \frac{\sqrt{(x+1)^2-1}+(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2-1}})= \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2-1}}
\)
powyższe działanie potwierdza poprawność wyniku.


PS
Brak stałej w wynikach przy całkach nieoznaczonych jest błędem rzeczowym.