Granice ciągów

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Sway22
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 02 gru 2021, 22:58
Podziękowania: 44 razy
Płeć:

Granice ciągów

Post autor: Sway22 »

\(

a) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} \right) \\
b) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) \\
c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \\ \)

d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: Jerry »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 \(
a) \Lim_{\color{red}{x}\to \infty } \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} \right) \\
\)
\(\Limn\left({1\over2}+{1\over4}+\ldots+{1\over2^n}\right)=\Limn {1\over2}\cdot\frac{1-0,5^n}{1-0,5}={1\over2}\cdot\frac{1-0}{1-0,5}=1\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: Jerry »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 \(
b) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) \)
\(\Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x+3-4}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) =\Lim_{x\to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{-4}{x+3} \right)^{x+3\over-4}\right]^{{-4\over x+3}\cdot \left( x+2 \right)}=e^{-4}
\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: Jerry »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 \(
c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \)
Np.
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n}=\Lim_{n\to \infty } 10\cdot \sqrt[n]{1 + 0,9^n + 0,8^n}=10\cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0}=10
\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: Jerry »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)
Nie powinno być \(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\) :?:

Pozdrawiam
Sway22
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 02 gru 2021, 22:58
Podziękowania: 44 razy
Płeć:

Re: Granice ciągów

Post autor: Sway22 »

Jerry pisze: 27 sty 2022, 00:49
Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)
Nie powinno być \(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\) :?:

Pozdrawiam
tak, przepraszam za bład
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: Jerry »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:52 tak, przepraszam za bład
\(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\Limn \frac{n^n}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\Limn \frac{n^n}{(n+1)^n}
=\Limn\frac{1}{\left(1+{1\over n}\right)^n}={1\over e}\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Granice ciągów

Post autor: eresh »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 00:13 \(

c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \\ \)

Z twierdzenia o trzech ciągach:
\(\sqrt[n]{10^n}\leq\sqrt[n]{10^n+9^n+8^n}\leq\sqrt[n]{10^n\cdot 3}\\
\Lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{10^n}=10\\
\Lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3\cdot 10^n}=10\\
\mbox{ zatem}\\
\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n}=10\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ