Zbieżność szeregu

[Zibi123]

Korzystając z kryterium porównawczego granicznego zbadaj zbieżność szeregu (pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności)
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} } \)

[panb]

Korzystając z kryterium porównawczego granicznego zbadaj zbieżność szeregu (pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności)
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} } \)

Ponieważ \(\displaystyle 0\le \frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} } \le \frac{3-(-1)}{n} = \frac{4}{n} \text{ i } \Lim_{n\to \infty } \frac{4}{n}=0, \text{ więc na mocy tw. o 3. ciągach }\) \[\Lim_{n\to \infty }\frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} } =0 \]i spełniony jest warunek konieczny zbieżności.

Ponieważ jednak \( \displaystyle \frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} }\ge \frac{3- 2\cdot 1}{ \sqrt{n} }= \frac{1}{ \sqrt{n} }\), a szereg \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n} }\) jest rozbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego \(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3- 2\cos (n^5)}{ \sqrt{n} } \) jest rozbieżny.