Odwzorowanie liniowe

[Sway22]

Dla odwzorowania liniowego \( L: \rr ^3 \to \rr ^2 \\
L([x,y,z]) = [2x-z, -3y+z, 2x-3y] \)
wyznaczyć macierz w bazach kanonicznych oraz jądro i obraz tego odwzorowania.

[grdv10]

Chyba \(L\colon\rr^3\to\rr^3\), bo wzór podaje trzy współrzędne. Kolumny macierzy zawierają wpółrzędne obrazów wektorów bazy kanonicznej, więc wystarczy spisać współczynniki.

Masz \(L(w)=Aw\), gdzie \(w=[x,y,z]\) oraz\[A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -1 \\
0 & -3 & 1 \\
2 & -3 & 0
\end{array}\right).\]Jądro jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań \(Aw=0\).

Macierz uzupełniona tego układu

Kod: Zaznacz cały

[ 2  0 -1| 0]
[ 0 -3  1| 0]
[ 2 -3  0| 0]

Postać zredukowana:

Kod: Zaznacz cały

sage: U.rref()
[   1    0 -1/2|   0]
[   0    1 -1/3|   0]
[   0    0    0|   0]

Zatem \(x=\frac{1}{2}z,\) \(y=\frac{1}{3}z\), gdzie \(z\in\rr\). Stąd\[\text{ker}L=\text{lin}\left\{\left[\frac{1}{2},\frac{1}{3},1\right]\right\}.\] Skoro jądro jest jednowymiarowe to obraz jest dwuwymiarowy. Mało tego, \(\rr^3\) jest sumą prostą jądra i obrazu. Zatem obraz generują dwa wektory liniowo niezależne z wektorem generującym jądro. Trzeba po prostu znaleźć takie dwa wektory. W tym celu biorę dwa wektory (jak poniżej) i wyznaczam ich obrazy.

Kod: Zaznacz cały

sage: A
[ 2  0 -1]
[ 0 -3  1]
[ 2 -3  0]
sage: A*vector([1/2,0,0])
(1, 0, 1)
sage: A*vector([0,-1/3,0])
(0, 1,1)

Widać, że wektory \([1,0,1],\ [0,1,1]\) są liniowo niezależne, mało tego wraz z wektorem generującym jądro tworzą bazę \(\rr^3\). Zatem\[\text{Im}L=\text{lin}\{[1,0,1],\ [0,1,1]\}.\]