Sprawdź czy macierze są podobne.

[gr4vity]

Mam za zadanie sprawdzić czy dwie macierze są do siebie podobne.
Wiem, że macierze \(A\) i \(B\) są do siebie podobne jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa \(P \), że \(B=P^{-1}AP\), natomiast średnio idzie mi zrozumienie jak należy to sprawdzić w praktyce.
Wiem, że jeżeli wartości własne dwóch macierzy nie są identyczne to temat jest zamknięty i te macierze nie są do siebie podobne, natomiast gdy są równe to wcale nie oznacza, że są podobne.
Czy wystarczy zatem obliczyć wektory własne obu macierzy i jeżeli są one równe sobie to macierze są podobne.
Sprecyzuje trochę pytanie:

Czy jeżeli mam dwie macierze i oba mają równe wartości własne np. \(\lambda_{1} = 1 ,\lambda_{2}= 2\)
Oraz dla odpowiednich wartości własnych wektory własne obu macierzy są identyczne to czy można już stwierdzić, że są one podobne?

[grdv10]

Dawno nie pracowałem w temacie macierzy podobnych. Ale czy nie jest tak, że jeśli wartości własne oraz ich krotności są identyczne, to macierze będą podobne?

Tu pomyślałbym o diagonalizacji do tej samej macierzy. Bo diagonalizacja to nic innego jak podobieństwo do macierzy diagonalnej.

No i pomyślmy. Ta macierz diagonalna ma na przekątnej wektory własne. Więc jeśli dwie macierze mają identyczne wartości własne (i krotności) oraz wektory własne, to są podobne. Niech tą macierzą diagonalną będzie \(D\). Wtedy \(A=P^{-1}DP\) oraz \(B=Q^{-1}DQ\). Stąd chyba łatwo wyrachować podobieństwo macierzy \(A,B\). Mamy \(D=PAP^{-1}=QBQ^{-1}\), więc \[A=P^{-1}QBQ^{-1}P=(P^{-1}Q)B(P^{-1}Q)^{-1}.\]

[gr4vity]

Dawno nie pracowałem w temacie macierzy podobnych. Ale czy nie jest tak, że jeśli wartości własne oraz ich krotności są identyczne, to macierze będą podobne?

Z tego co mi wiadomo macierze mogą mieć identyczne wartości własne a wcale nie muszą być podobne

[grdv10]

Dawno nie pracowałem w temacie macierzy podobnych. Ale czy nie jest tak, że jeśli wartości własne oraz ich krotności są identyczne, to macierze będą podobne?

Z tego co mi wiadomo macierze mogą mieć identyczne wartości własne a wcale nie muszą być podobne

Bo mogą mieć inne wektory własne. Zobacz powyżej - coś tam dopisałem.

[gr4vity]

dziękuję bardzo

[grdv10]

Podziękowanie wyrażamy kliknięciem odpowiedniego przycisku.