Baza odwzorowania liniowego

[agfija]

Czy ktoś jest w stanie wyznaczyć bazę przekształcenia liniowego?:

\(f: \rr^3\to\rr^2\\
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)\)

Napewno będzie tutaj "działała" baza kanoniczna. Ale czy są jeszcze inne wektory generujące tę przestrzeń \(\rr^3\)?
Ktoś potrafi pomóc?

[panb]

Nic ci nie pomoże, jeśli nie zastosujesz zapisu poprawnego.
Taki zapis f(x1,x2,x3)=(x1,2x2,3x3;3x1,2x2,x3) jest błędny. Między x1,2x2,3x3 powinno byś jakieś działanie (mnożenie, dodawanie, itp.). No i stosuj LaTeX.

[agfija]

Jasne, oczywiście mój błąd w zapisie. Powinno być wszędzie dodawanie.

[panb]

Czy ktoś jest w stanie wyznaczyć bazę przekształcenia liniowego?:

\(f: \rr^3\to\rr^2\\
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)\)

Na pewno będzie tutaj "działała" baza kanoniczna. Ale czy są jeszcze inne wektory generujące tę przestrzeń \(\rr^3\)?
Ktoś potrafi pomóc?

\((x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)=x_1(1,3)+x_2(2,2)+x_3(3,1)\\
2 \cdot (2,2)=(1,3)+(3,1)\)
Jeśli wektory (1,3) oraz (3,1) są liniowo niezależne (sprawdź), to stanowią one bazę przekształcenia \(f\).

[agfija]

Ok, dzięki wielkie. Od razu widać, że będą tworzyły bazę. Jednak te wektory będą bazą przestrzeni R^2. A w zadaniu (niedopisalam) chodzi o wektory generujące przestrzeń R^3. Czy tych baz nie będzie jakoś dużo?
Bo tak: powstają dwa wektory (1,2,3) oraz (3,2,1), więc np. bazą mogłyby być wektory: (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)?
Ponieważ mnożąc wektory bazy przez pewne stałe jestem w stanie wygenerować wektor (1,2,3) lub (3,2,1). Zgadza się? O to tutaj się rozchodzi? Tylko teraz pytanie: jak znaleźć te (wszystkie) wektory bazy generujące R^3?

[panb]

Tak, dlatego pytanie o bazę \(R^3\) jest co najmniej "dziwne". Nie ma ono związku z przekształceniem \(f\).

[agfija]

Ok, a zatem bazę w R^2 będą tworzyły tylko te wektory, które Ty wypisałeś? Czy jestem w stanie znaleźć jakieś inne generujące przestrzeń R^2?

[panb]

Jeżeli wektory \(v_1, v_2\) są bazą pewnej przestrzeni liniowej, to dla dowolnych niezerowych skalarów \(\alpha_1, \alpha_2\) wektory \( \alpha_1v_1, \alpha_2v_2\) również są bazą tej przestrzeni.