Równania logarytmiczne i wykładnicze

[jasminka]

Rozwiąż:

1. \( 2\log_2^2x-3 \log_2x-2=0 \)

2. \( \log_2(3x-8)=2+ \log_2(5-x) \)

3. \(3^{x+1}+3^{1-x}=10\)

4. \( \log_ \frac{1}{2}(4x^{2}-x)>2+ \log_ \frac{1}{2}(2x+1) \)

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Jerry]

1. \( 2\log_2^2x-3 \log_2x-2=0 \)

\(2t^2-3t-2=0\), gdzie \(t=\log_2x\wedge x>0\)
\(\sqrt\Delta=5\\
t=-{1\over2}\vee t=2\\
x=2^{-{1\over2}}\vee x=2^2\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. \( \log_2(3x-8)=2+ \log_2(5-x) \)

\(\log_2(3x-8)=\log_24+ \log_2(5-x)\wedge (3x-8>0\wedge 5-x>0)\\
\log_2(3x-8)=\log_2(20-4x)\\ 3x-8=20-4x\\ x=4\)
Pozdrawiam

[Jerry]

3. \(3^{x+1}+3^{1-x}=10\)

\(3t+{3\over t}=10\), gdzie \(t=3^x\wedge t>0\)
\(3t^2-10t+3=0\\
\sqrt\Delta=8\\
t={1\over3}\vee t=3\\
3^x=3^{-1}\vee3^x=3^1\\
x=-1\vee x=1\)
Pozdrawiam

[eresh]

Rozwiąż:

4. \( \log_ \frac{1}{2}(4x^{2}-x)>2+ \log_ \frac{1}{2}(2x+1) \)

Z góry dziękuję za odpowiedź.

\(4x^2-x>0\;\;\;\wedge\;\;\;2x+1>0\\
x(4x-1)>0\;\;\wedge\;\;\;x>-\frac{1}{2}\\
x\in (-\infty, 0)\cup (\frac{1}{4},\infty)\;\;\;\wedge\;\;x>-\frac{1}{2}\\
D=(-\frac{1}{2},0)\cup (\frac{1}{4},\infty)\)

\(\log_{\frac{1}{2}}(4x^2-x)>\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}(2x+1))\\
4x^2-x<\frac{1}{4}(2x+1)\\
16x^2-4x<2x+1\\
16x^2-6x-1<0\\
x\in (-\frac{1}{8},\frac{1}{2})\;\;\wedge\;\;x\in D\\
x\in (\frac{-1}{8},0)\cup (\frac{1}{4},\frac{1}{2})\)

[Jerry]

4. \( \log_ \frac{1}{2}(4x^{2}-x)>2+ \log_ \frac{1}{2}(2x+1) \)

\(\log_ \frac{1}{2}(4x^{2}-x)>\log_ \frac{1}{2}{1\over4}+ \log_ \frac{1}{2}(2x+1)\wedge(4x^2-x>0\wedge 2x+1>0)\\
\log_ \frac{1}{2}(4x^{2}-x)>\log_ \frac{1}{2}{2x+1\over4}\\
4x^{2}-x<{2x+1\over4}\\ 16x^2-6x-1<0\\ \sqrt\Delta=10\\ x_1=-{1\over8}\vee x_2={1\over2}\\
x\in\left(-{1\over8};{1\over2}\right)\wedge x\in \left(-{1\over2};0\right)\cup\left({1\over4};+\infty\right)\So
x\in\left(-{1\over8};0\right)\cup\left({1\over4};{1\over2}\right)\)
Pozdrawiam

[eresh]

Rozwiąż:

3. \(3^{x+1}+3^{1-x}=10\)

\(3^x\cdot 3+3\cdot 3^{-x}=10\\
3^x=t, \;\;\;\;t>0\\
3t+\frac{3}{x}-10=0\\
3t^2-10t+3=0\\
t=3\;\;\;\vee \;\;\;t=\frac{1}{3}\\
3^x=3^1\;\;\;\vee\;\;\;3^x=3^{-1}\\
x=1\;\;\;\vee\;\;\;x=-1\)