Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Korni131 »

Cześć mam takie równanie \(2\sin^2x - \cos 2x =1\) , jak sprowadzę do wyniku \(\sin^2x ={1\over2}\) to wychodzą mi 4 wyniki , ale jak do \(\cos2x=0\) to wychodzi mi tylko jeden. Moją prośbą jest wyjaśnienie ,skąd wiadomo ,że tamte 3 pozostałe są złe.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2023, 15:35 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

Rozwiązań w obu przypadkach jest nieskończenie wiele. Jeśli są jakieś założenia co do dziedziny, to je podaj.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2023, 15:36 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; usunąłem komentarz - nie wchodź w buty moda!
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Korni131 »

Tulio pisze: 29 sty 2023, 00:29 Rozwiązań w obu przypadkach jest nieskończenie wiele. Jeśli są jakieś założenia co do dziedziny, to je podaj.
Nie chodzi mi o rozwiązania w dziedzinie tylko o podanie okresowość bo wychodzi mi różna zależnie z czego liczę
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

Nie wychodzą Ci "4 wyniki" (mam nadzieję) tylko cztery (lub jedna) grupy (grupa) rozwiązań, prawda? Może pokażesz obliczenia i zobaczymy co masz źle?
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 563 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: anilewe_MM »

Nasz profesor poleca koło kątów (tak to nazywa) do sprawdzania poprawności odpowiedzi
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Korni131 »

Tulio pisze: 30 sty 2023, 17:59 Nie wychodzą Ci "4 wyniki" (mam nadzieję) tylko cztery (lub jedna) grupy (grupa) rozwiązań, prawda? Może pokażesz obliczenia i zobaczymy co masz źle?
Po przekształceniu równania 2sin²x -cox2x =1 do postaci:
a)
sin²x=½
Wychodzą mi (grupa?)cztery równania: k należy do Z
x = ¼pi +2kpi
x =¾pi +2kpi
x =5/7pi +2kpi
x =7/4pi +2kpi
b)
Cos2x=0
Wychodzi mi jedno rozwiązanie
x =¼pi +½kpi

Doinformowałem się, że te (grupę??) rozwiązań równania kwadratowego trzeba narysować na wykresie i sprawdzić ich okresowość czy przypadkiem nie tworzą wspólnego rozwiązania ,przez co wiem jak rozwiązać te równanie. Chciałbym się dowiedzieć o innych możliwych opcjach rozwiązania tego zadania z postaci a)
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

Teraz wiemy o czym mowa.
Tak, grupa rozwiązań, bo formalnie rozwiązaniem są:
\(x=\frac{1}{4}\pi\)
\(x=\frac{1}{4}\pi + 2\pi\)
\(x=\frac{1}{4}\pi + 4\pi\)
itd. dla samego pierwszego \(x=\frac{1}{4}\pi+2k\pi\)
Na przykład gdyby zadanie brzmiało "podaj przykład rozwiązania" to \(x=\frac{1}{4}\pi\) byłoby, jak najbardziej, prawidłową (jedną z nieskończenie wielu) odpowiedzi.

I teraz może zdarzyć się tak, że rozważania a) i b) są równoważne mimo pozornej różnicy w ilości (w rzeczywistości oba wyznaczają ich nieskończenie wiele więc niekoniecznie masz ich różną ilość).

Istotnie wyjdźmy od \(x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\cdot k\) ("rozwiązanie" b) ) i \(l\in \zz\)
wtedy dla \(k=4l\) mamy:
\(x=\frac{\pi}{4} + 2l\pi\) (twoje pierwsze "rozwiązanie" z a) )
dla \(k=4l + 1\) mamy:
\(x=\frac{\pi}{4} + 2l\pi + \frac{\pi}{2} = x=\frac{3}{4}\pi + 2l\pi\) (twoje drugie "rozwiązanie" z a) )
dla \(k=4l + 2\) otrzymasz trzecie i dla \(k=4l + 3\) otrzymasz czwarte z a)
(gdzie \(l\) to tylko nazwa jakiejś liczby całkowitej, więc jest równoważna Twojemu \(k\) z a) )
Tak wiec rozwiązania są równoważne mimo, że w pierwszym masz cztery ("rzadsze") grupy, a w drugim jedną ("bardziej ściśniętą").
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

Korni131 pisze: 05 lut 2023, 22:09 Chciałbym się dowiedzieć o innych możliwych opcjach rozwiązania tego zadania z postaci a)
Tej części nie w pełni rozumiem, ale:

Jeden sposób rozwiązania \(\sin^2 x = \frac{1}{2}\):
\(\sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee \sin x = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \)
i dalej masz swoje cztery grupy w zależności od \(k\).

Drugi sposób to przejście na drugą postać:
\(\sin^2 x = \frac{1}{2}\)
\(2 \sin^2 x = 1\)
\(2 \sin^2 x = \cos^2x + \sin^2 x\)
\(\sin^2 x - \cos^2 x = 0\)
\(\cos \left( 2x\right) = 0\)
i stąd \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) masz swoje "jedno". Nie ma błędu w obu rozwiązaniach więc muszą one być równoważne nawet jeśli nie wyglądają na takie.

Czy o to chodziło?
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

anilewe_MM pisze: 05 lut 2023, 11:55 Nasz profesor poleca koło kątów (tak to nazywa) do sprawdzania poprawności odpowiedzi
Nie wiem co dokładnie nazywa tym "kołem kątów" (możliwe, że bardzo mądrą rzecz). Możesz rozwinąć?
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 43 razy
Płeć:

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Tulio »

A tu zobrazowanie: kliknij link, że naprawdę to to samo.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Równanie Trygonometryczne -wyjaśnienie

Post autor: Jerry »

Tulio pisze: 05 lut 2023, 22:54 Nie wiem co dokładnie nazywa tym "kołem kątów" ...
Też korzystam z tego pojęcia, kolokwialnie nazywając osią liczbową nawiniętą na szpulkę o obwodzie \(2\pi\):
001.jpg
i rzeczywiście służy do porównywania/łączenia/sprawdzania z dziedziną serii rozwiązań równań (w bardziej zaawansowanej wersji - nierówności) trygonometrycznych.

Pozdrawiam
PS. Przy okresach większych niż \(2\pi\) - bezużyteczne
ODPOWIEDZ