Dowód nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Dowód nierówności

Post autor: poetaopole »

Udowodnij, że dla dowolnego \(a\) i dowolnego \(b>1\) zachodzi: \(a ^{2} -ab+b ^{2}>a \)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, 12:43 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności

Post autor: kerajs »

\(a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dowód nierówności

Post autor: Jerry »

Albo, bardziej po uczniowsku, rozpatrzmy funkcje:
\[f_b(a)=a ^{2} -ab+b ^{2}-a=a^2-(b+1)a+b^2\quad\wedge a\in\rr\wedge b>1\]
Ponieważ
\[\Delta(b)=(b+1)^2-4b^2=-3b^2+2b+1=(-3b^2-b)+(3b+1)=-(b-1)(3b+1)\]
dla \(b>1\) przylmuje wartości ujemne, to
\[\forall_{a\in\rr}f_b(a)>0\]
Pozdrawiam
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 434
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 250 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności

Post autor: Icanseepeace »

Moja propozycja:
Dla \( a \leq 0 \) nierówność jest prawdziwa ze względu na różne znaki obu stron. Dla pozostałych:
\( L = a^2 - ab + b^2 = (a-b)^2 + ab \geq ab > a = P \)
ODPOWIEDZ