Wykaż, że wszystkie wyrazu ciągu \(a_n\) określonego wzorem
\[a_n= \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+ \frac{1}{2n} \]
spełniają warunek \( \frac{1}{2}\leq a_n \leq 1\).
Zadanie z ciągiem.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Zadanie z ciągiem.
\( n + 1 \leq n + 1 \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{2n} \)
\( n + 1 \leq n+ 2 \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+2} \geq \frac{1}{2n} \)
\( n + 1 \leq n+ 3 \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+3} \geq \frac{1}{2n} \)
\( \vdots \)
\( n + 1 \leq 2n \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n} \)
Sumując stronami:
\( \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} \ldots \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} \ldots + \frac{1}{n+1} \)
\( n \cdot \frac{1}{2n} \leq a_n \leq n \cdot \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \leq 1\)
\( n + 1 \leq n+ 2 \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+2} \geq \frac{1}{2n} \)
\( n + 1 \leq n+ 3 \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+3} \geq \frac{1}{2n} \)
\( \vdots \)
\( n + 1 \leq 2n \leq 2n \So \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n} \)
Sumując stronami:
\( \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} \ldots \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} \ldots + \frac{1}{n+1} \)
\( n \cdot \frac{1}{2n} \leq a_n \leq n \cdot \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \leq 1\)